CHAPITRE Xm

SUITE DE LÀ MÉTHODE D'ASSIMILATION. — APPLICATION A LA RECHERCHE DES COMPOSANTES TANGENTIELLE ET NORMALE DE LA FORCE ACCÉLÉRATRICE DANS UN MOUVEMENT QUEL- CONQUE.

SU. -^ Lsi ôûîncidence des mouvements donne lieu à des assimilations analogues à celles du contact des courbes.

Quand deux mouvements rectilignes variés ont une coïncidence de Tordre w, c'est-à-dire quand les espaces parcourus au bout d'une durée infiniment petite n'ont eûtré éul cju^uné diffétéûce dé l'ordi*e w-hl, on dît que ces mouvements Sé confondent ou sont assimilables l'un â l'autre pendant n instants consécutifs. Les considérations qttî motivent cette locution Sont de même tiature que celles qKt font l'objet du n!* 66 : atfêsi ôroyons-nous inutile de les reproduire^.

Le mouvement osculateur d*UD mouvemenl donné est celui qui se confond avec lui pendant le plus grand nombre possible dinstants consécutifs. Un mouvement varié est donc considéré comme se confondant :

Pendant un instant, à partir du point de coïncidence^ avec le mQuvement osculateur du premier ordre, c'est-àdire avec le mouvement uniforme qui a pour vitesse celle

du mouvement varié au point de coïncidence ; Pendant deux instants, à partir du point de coïncidence,

avec le mouvement osculateur du second ordre, c'est-àdire avec le mouvement uniformément varié qui a pour force constante celle qui sollicite le mobile au point même de la coïncidence ;

Et ainsi de suite pour un nombre d*instants de plus enplus grand.

Le mouvement osculateur du second ordre d'Un mouvement curviligne quelconque, est, d'après ce qu'on a vu au* n° 75, le mouvement parabolique ; on le considère comme se confondant avec lui pendant deux instants consécutifs. En d'autres termes, un mouvement curviligne est assimilé^ pendant deux instants consécutifs, au mouvement quv serait engendré par une vitesse initiale et par une force constante en grandeur et en direction.

85. — Cela posé occupons-nous de déterminer à ua moment donné la grandeur des composantes tangentielle et normale de la force variable qui produit un mouvement curviligne quelconque.

Soit A B (fig. 17), la trajectoire parcourue par le mobile^ et M le point pour lequel il s'agit de trouver les composantes de la force motrice. Soient M M' et M' M" les élé*^

MÉraODE INFINITÉSIMALE.

menls décrits à partir de ce poiat, pendant deux instants consécutifs dt.

Fig. 17.

nLe mouvement peut être considéré comme uniforme le

MM' ds

long de l'élément M M', en sorte qu'on a : V = -^=^,

Si la force cessait d'agir au delà du point M\ le mouvement se continuerait uniformément sur M' T, prolongement de M M'. C'est précisément l'influence de la force, pendant l'instant suivant, qui fait parcourir au mobile l'élément M' M", disUnct de la droite M' T.

Si nous formons le rectangle M' K M" I, et que nous concevions la force décomposée suivant la tangente M' T et la normale M'C, la longueur M' K représentera l'espace parcouru sous l'influence de la vitesse V et de la composante langentielle T ; et la longueur M' I représentera

2S4 TAOISIÈMC PAltlS.

Tespâce parcouni sons Tâctioa de la composante normale Q.

La force motrice étant constante pendant ce temps infiniment petit, les composantes le sont aussi, et l'on a :

V Pour le mouvement rectiligne^urM'T,

2^ Pour le mouvement rectiligne sur M' C,

de '

or, dans le triangle reclangle M'M"D, formé par le diamètre du cercle osculateur et les cordes M' M" etM"D, le

M' M' ds^

segment M' I est égal à ^,^ ou à r^. On en déduit :

Ces valeurs de T et de Q, déterminées pour le point MV

^ L'é^ation de tout mouyement rectiligne produit par une force cour citante, et sans vitesse initiale, est

<fétm^ la force f t l'espace parcouru et t le temps employé* Or dims le mouvement suivant la normale WC, l'espace parcouru est M'I, le temps e&t dt, et il n'y a pas de vitesse initiale ao point de départ M', dans le sens

deM'C:doncQ=^.

MÉTHODE INFINIXÊSUIALE. 235

conviennent également pour le point M ; attendu que ces points étant infiniment voisins, la force est demeurée constante dans Tintervalle.

86» — Voilà certes, comme nous Tannoncions à la fin du n^ 76 (renvoi de la page HU)^ une démonstration beaucoup plus simple et rapide que celle obtenue par la méthode ordinaire. Mais au risque de trop nous répéter, qu'on nous permette encore de foire ressortir la complète identité, quant au fond^ de cette démonstration avec celle du numéro précité.

Si nous avons pu considérer la force comme constante pendant un temps infiniment petit, c'est parce que l'espace parcouru sous l'action d'une pareille force ne difTère que par un infiniment petit d'ordre supérieur de l'espace parcouru sous l'action d'une force constante ; et si nous avons pu regarder M' M" comme appartenant au cercle osculateur, c'est parce que l'arc de courbe ne diffère de l'arc de cercle que par une quantité infiniment petite relativement à ces arcs eux-mêmes. Si enfin nous avons pu remplacer l'accroissement de l'arc par sa différentielle, et considérer M' M" comme étant aussi bien une corde du cercle qu'une portion de circonférence, c'est toujours parce que ces bypothèses introduisent des erreurs d'un tel ordre de petitesse, que les valeurs des limites n'en sont point altérées»

87. — Une des choses qui étonnent le plus les comment çants, dans le problème précédent, c'est la diversité des points de vue sous lesquels on envisage le phénomène, selon les quantités qu'on se propose de calculer. Ainsi,

quand il s'agit d'obtenir la vitesse, on admet que le mouvement est uniforme ; quand on évalue la composante tangentielle, on le regarde comme rectiligne et uniformément varié ; enfin quand on cherche la composante normale, on suppose que la direction varie d'un instant à l'autre. Ces diverses hypothèses sont marquées dans les formules dont