CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR L'ANALYSE INFINITÉSIMALE

88. — Si nous envisageons dans leur ensemble les considérations présentées dans les chapitres précédents, nous pourrons nous rendre compte plus exactement que nous ne Tavons fait au début de ce livre, de l'objet de la mé- |

thode infinitésimale et de son véritable rôle dans IV '

nalyse.

L'objet de la méthode infinitésimale est, comme nous l'avons déjà indiqué, de ramener à une appli(âlion de calcul différentiel ou intégral, c'est-à-dire à une pure affaire d'algèbre, le calcul des quantités qu'on ne sait pas exprimer directement en fonction des éléments connus de la question.

.MÉTHODE INFINntSniAEE. 2S9

Pour y parvenir, on considère ces quantités comme des limites de rapports ou des limites de somm es de termes infiniment petits.

Il faut ensuite donner à ces rapports et à ces sommes une forme analytique qui permette d'en calculer les limites par les procédés de la différentiation on de Tinté* gration ; ce qui conduit à chercher des relations entre les infiniment petits qui forment les termes de ces rapports on de ces sommes, et les éléments de la question.

Cette élaboration est entièrement fondée sur le Principe de la substitution des quantite's infinitésimales^ d'à* près lequel on peut remplacer l'un par l'autre, dans un calcul de limites, deux infiniment petits qui ne diffèrent entre eux que par un infiniment petit d'ordre supérieur. Ce principe sert non seulement à faciliter l'établissement des relations dont il s'agit, mais il est l'essence même de la méthode et la condition nécessaire de son efficacité ^

Une des manières les plus commodes de faire usage du principe de la subtitution, consiste à assimiler les in* finiment petits pouvant être substitués l'un à l'autre : de

^ En effet toute Futilité des considérations infinitésimales vient évidemment de ce que les infiniment petits dont la somme ou le rapport a pour limite la quantité cherchée , ne sont pas des parties intégrantes de oet([$ quantité, mais en diffèrent, au contraire, nécessairement. Si, p«r exempte* au lieu de considérer un arc de courbe comme la limite de la somme des cordes inscrites , on se bornait à le décomposer en une infinité de parties, chacune de ces parties , étant de même nature que Tare lui-même, offîrlrait des difficultés identiques pour être exprimée m fonetioii des &&* ments connus de la question. On n'échappe à ces difficultés que par la possibilité de substituer à ces parties d'arc d'autres infiniment petits, telsque les cordjes inscrites, pour lesquels la recherche des relations ne rencontre pas les mêmes ob^tacletf.

telle sorte qae sans montrer chaque fois, dans le cours des raisonnements, qu'on se borne à des applications légitimes de ce pnncipe, on accepte d'avance comme valables les relations obtenues à l'aide des infiniment petits plus simples auxquels les autres ont été assimilés. Mais si une pareille marche est squvent plus rapide, il faut se garder de croire qu'elle soit, quant au fond, distincte de la précédente, et qu'on puisse l'en rendre itidépendante.

89. — Lorsque Leibnilz fit connaître sa nouvelle analyse, il la présenta à peu près sous la forme de la méthode d'assimilation. Ainsi, les courbes étaient considérées par lui comme des polygones d'un nombre infini de côtés infiniment petits , les mouvements variés comme une succession de mouvements uniformes, les surfaces courbes comme des polyèdres, etc. En un mot, les quantités étaient, pour ainsi dire, décomposées en éléments d'une nature plus simple, dont, par conséquent, les relations devaient être plus faciles à saisir. Cette méthode de décomposition ^ était d'ailleurs basée, comme elle doit l'être, sur le principe de la substitution des quantités. Mais ce principe était plutôt affirmé que démontré ; et l'on n'indiquait pas la cause véritable de sa rigueur, qui provient de ce que la quantité qu'il s'agit, en dernier ressort, de calculer, est une limite^ c'est-à-dire une quantité fixe, dont la valeur ne peut être influencée par les altérations infiniment petites des divers termes qui y figurent. Il est permis de croire que l'illustre inventeur lui-même ne s'en rendait pas un

' La dénomination ù' Analyse infinitésimale ( en grec àvaXuo , aitalyser, décomposer ), caractérise parfaitement cette nature de procédé.

compte parfaitement exact ; car pressé par les objections qui lui venaient de divers côtés, il répondait qu'il traitait les infiniment petits comme des incomparables y et qu'il les négligeait vis-à-vis des quantités finies comme des grains de sable par rapport à la mer ^. Aussi ne doit-on pas s'étonner des controverses qui s'engagèrent pendant

^ Camot a dépeint cette situation dans le passage suivant :

« Leibnitz, qui le premier donna les règles du calcul infinitésimal, l'établit sur ce principe : qu'on peut prendre à volonté Tune pour Tautre deux grandeurs finies qui ne diffèrent entre elles que d'une quantité infiniment petite. Ce principe avait l'avantage d'une extrême simplicité et d'une application très-facile. 11 fut adopté comme une espèce d'axiome, et l'on se contenta de regarder ces quantités infiniment petites comme moindres que toutes celles qui peuvent être appréciées ou saisies par l'imagination. Bientôt ce principe opéra des prodiges entre les mains de Leibnitz lui-même, des frères Bemouilli, de l'Hôpital, etc. Cependant il ne fut pas à l'abri des objections : on reprocha à Leibnitz : i"* d'employer l'expression de quantités infiniment petites sans l'avoir préalablement définie ; 2° de laisser douter, en quelque sorte, s'il regardait son calcul comme absolument rigoureux, ou comme une simple méthode d'approximation.

L'illustre auteur et les hommes célèbres qui avaient adopté son idée, se contentèrent de faire voir, par la solution des problèmes les plus difficiles, la fécondité du principe , l'accord constant de son résultat avec ceux de l'analyse ordinaire, et l'ascendant qu'il donnait aux nouveaux calculs. Ces succès multipliés prouvaient victorieusement que toutes objections n'étaient que spécieuses; mais ces savants n'y répondirent point d'une manière directe, et le nœud de la difilculté resta. 11 est des vérités dont tous les esprits justes sont frappés d'abord, et dont cependant la démonstration rigoureuse échappe longtemps aux plus habiles.

« M. Leibnitz, dit d'Alembert, embarrassé des objections qu'il sentait « que l'on pouvait faire sur les quantités infiniment petites, telles que les « considère le calcul différentiel, a mieux aimé réduire ses infiniment pe- « tits à n'être que des incomparables ; ce qui ruinerait l'exactitude géo- « métrique des calculs. »

{Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, p. 35, 4« édition).

3&2 TBOISIÈME PARTIE.

longtemps 8ur cette question, et qui contribu^ent sans doute à retarder, par les opinions extrêmes qu'elles firent ntttre, rétablissement des bases véritables de l'analyse.

90. — Parmi les géomètres, les uns, fidèles à l'idée première de Leibnitz, conservèrent sa méthode et cherchèrent à en éclairer les principes pour la mettre à l'abri de toute attaque. Ce qui a manqué à cette élaboration, c*est de fonder le principe de la substitution des quantités sur la considération des limites. Le dernier terme des efforts tentés dans ce sens, a abouti à l'œuvre si connue de Carnot : Reflexions sur /a métaphysique du Calcul infi-nit^simai. Cet écrit , remarquable à plus d'un titre, a fait véritablement époque dans l'histoire de Tanalyse : aussi mérite-t-il une mention toute spéciale.

Carnot fonde la rigueur de la méthode leibnitzienne sur une conception très-ingénieuse, généralement connue sous le nom de principe de la compensation des erreurs. Son argumentation repose essentiellement sur ce que les erreurs, s'il y en avait dans le résultat final , seraient nécessairement de même nature que les quantités infiniment petites qui les ont engendrées. Or, ces quantités, disparaissant toujours par le fait même de la différentiation ou de l'intégration, il n'en subsiste aucune trace dans les équations finales. Celles-ci sont donc nécessairement et rigoureusement exactes.

Une telle démonstration, bien que vraie au fond, n'est pas satisfaisante pour l'esprit, car elle semble confondre le signe de l'effet avec la cause elle-même. On voit bien que si les quantités infiniment petites ont disparu, le ré^ sultat ne peut être erroné, mais on ne voit pas pourquoi

MÉTHODE umsnxsivikLE. 2h'6

ces infiniment petiis disparaissent inévitablement, et pourquoi en les supprimant on rétablit l'exactitude des relations.

€'est le point qu'éclaire supérieurement la considération des limites ; car s'il est vrai que la limite d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits n'est pas altérée par la présence d'infiniment petits d'ordres supérieurs, on aperçoit très-nettement que le résultat final, qui n'est autre que la valeur même de ia limite, ne saurait en garder de trace, et que dès lors il est indifférent de conserver momentanément ou de supprimer tout de suite ces infiniment petits inutiles, destinés, maigre qu'on en ait, à disparaître des relations dernières.

Les équations appelées imparfaites par Carnot sont donc, à proprement parler, des équations d'attente ou de transition^ qui sont rigoureuses en tant qu'on ne les fera servir qu'au calcul des limiies, et qui seraient, au contraire, absolument inexactes, si les limites ne devaient pas être prises effectivement. Il suffît d'avoir présente à l'esprit la destination définitive des calculs, pour n'éprouver aucune incertitude sur la valeur des relations par lesquelles on passe : il faut voir dans chacune d'elles, non pas ce qu'elle parait exprimer actuellement, mais ce qu'elle exprimera plus tard , quand on prendra les limites.

91. — On nous fera remarquer peut-être que Gamot s'est bien gardé de] présenter la solution en ces termes, et qu'il ne s'est pas borné à la recommandation , pour ainsi dire machinale, de supprimer purement et simplement, dans les équations dernières, les infiniment petits qui se seraient introduits dans le cours de l'élaboration.

2hU TROISIÈME PARTIE.

Réduit à ces termes, un expédient aussi peu philosophique n'aurait pu contenter un esprit comme le sien. Mais il est facile de voir que les règles tracées par Tillustre géomètre, dépouillées des habiletés d'argumentation dont elles sont revêtues, reviennent sensiblement à ce que nous avons indiqué. Telle est, en effet, la suite de Texposition de Carnot, qui me parait se résumer dans les trois points suivants :

V. — a Corollaire iv. Toute quantité qu'on est maiic tre de supposer aussi petite qu'on le veuty peut i< être négligée comme absolument nulle, en eompa- « raison de toute autre quantité qui ne peut être, « commue la première^ supposée aussi petite qu^on le « veut, sans que les erreurs qui peuvent naître ainsi « dans le cours du calcul puissent en affecter le réa sultat, du moment que toutes les quantités arbi- « traires en seront éliminées.

<( En effet, en négligeant, comme absolument nulles, (( les quantités qui peuvent être supposées aussi petites (( qu'on veut , lorsqu'elles se trouvent ajoutées à d'autres « qui ne peuvent de même être supposées aussi petites « qu'on veut, ou qu'elles s'en trouvent retranchées, il est « évident que les erreurs qui pourront en naître dans le « cours du calcul ou en affecter le résultat, pourront être « pareillement supposées aussi petites qu'on le voudra ; « donc il restera dans ce résultat quelque chose d'arbi- « traire, ce qui est contre l'hypothèse, puisque toutes « les quantités arbitraires sont supposées entièrement « éliminées (p. 24, U'' édition). »

Carnot est ainsi conduit à distinguer des équations qu'il nomme imparfaites : « J'appelle, dit-il, équation impar-^

<( faite toute équation dont l'exactitude rigoureuse n'est « pas démontrée, mais dont on sait cependant que Terii reur, s'il en existe une, peut être supposée aussi petite « qu'on le veut ; c'est-à-dire telle que, pour rendre celte (c équation parfaitement exacte, il suffit de substituer aux (( quantités qui y entrent , ou seulement à quelques-unes « d'entre elles, d'autres quantités qui en diJETèrent infini- « ment peu (p. 20). »

T. — Carnot, tout en prenant pour valeur de la différentielle la quantité que nous avons prise nous-méme, c'est-à-dire le produit de la dérivée par l'accroissement de la variable indépendante, regarde cette différentielle comme représentant la différence de la fonction, hypothèse qui consiste à négliger les infiniment petits d'ordres supérieurs au premier qui entrent dans l'expression de cette différence. « On entend, dit-il, par le mot de differen- « tielle la différence de deux valeurs successives d'une (( même variable (dépendante ou indépendante), lorsque « l'on considère le système auquel elle appartient, dans « deux ou plusieurs états consécutifs, dont l'un est regardé « comme fixe et les autres comme se rapprochant conti- « nuellement et simultanément du premier jusqu'à en <( différer aussi peu qu'on le veut (p. fti). »

Il suit de là que toute équation dans laquelle la différentielle figure comme expression de la différence est par là même une équation imparfaite, de la nature de celles précédemment définies.

3". — Dans la résolution d'un problème, il arrivera, d'une part, que les hypothèses faites sur la nature des quantités, dans le but de simplifier la mise en équation, fourniront immédiatement des équations imparfaites,

2&6 TBQISIÈKE TAKHOL

dans lesquelles figureroiU des expressioas de difiërentielles; et, d'autre part^ qae la substitution (tes valeurs de ces différentielles^ calculées d'après les équations données, apportera «ne auûre cause d'imperfection. Les équations doublement imparfaites ainsi obtenues redevia^nent parfaites par la disparition des erreurs qui s'y compensent. On peut étudier cette marcbe dans les divers problèmes traités par l'auteur ; par exemple, dans celui de la recherche de la sous-tangente de la courbe qui a pour éqvation (n* 7î de l'ouvrage cité)

La courbe étant considérée comme un polygone d'un nombre infini de côtés, on obtient, en suite de cette hypothèse, une première expression imparfaite de la sous-

dûP tangente , y-r- y dans laquelle dy représenté une diSe-

rence. IXautre part , la différentiation de l'équation de la

diff

courbe fournit pour -j- une valeur

(in-Mt)fly

qufoff doit considérer aussi comme imparfaite, puisq w êy, qui est une diflTérence, s'y trouve calculée comme si eOe ^sit simplement égale au produit de la dérivée par Tac-

àx

croissement de la variable. Cette valeur de j-^ substituée

dwt Texpcessiai et la seus4aBg6nflfr^ imam :

MÉTHOm INFIlflTÊdUlALE. 2&7

(wi + n) (a — x)x sous-tangente = ^ — r — -\ -—

« équation, dit Carnot, qui, étant dégagée de toute consi- « dération de rinfini, est rigoureusement exacte, et me « donne la valeur cherchée de la sous-tangente (p. 60). »

C'est à de semblables résultats que s'applique justement notre objection j car pourquoi les erreurs se compensentelles? Nous voyons bien que cela a lieu, mais nous ne voyons pas par quelle cause.

Cette difficulté avait été profondément sentie par La^ grange, et c'est ainsi qu'il la met en relief dans sa ThéorU des fonctions analytigues :

<r II me semble que comme dans le calcul différentiel , « tel qu'on l'emploie, on considère et on cacule, en effet, « les quantités infiniment petites ou supposée» infinimenf

« petites elles-mêmes , • la véritable métaphysique de ce « calcul consiste en ce que l'erreur résultant de cette <( fausse supposition est redressée ou compensée par celle « qui natt des procédés mêmes du calcul, suivant lesquels « on ne retient dans la différei^tiation que le» quantité» <( Mifiniment petites du même ordre. Par exemple, en re^ <( gardant une courbe comme un polygone d'oa nombre « ii^ni de côté» chacun infiniment petit, et dent le pro^ « tongement est la tangente de la courbe, il est clair qu^oa « tait «ne snppo^tion erronée y mai» l'errei^r se troore « eoFrigée dan» le ealcnl par rémission qu'on^ y fate de» « qimnlité» înfinimeftt petites. C'est ce qu'en pe»t faire veir <c aisément dans des exemples ,^ mmis dont il serait ]^9U$^

a être difficile de donner une démonstration générale. »

92. — Tandis que l'école leibnitzienne admettait les infiniment petits et négligeait les limiteS| d'autres géomètres, au contraire, empruntaient les limites et rejetaient absolument les infiniment petits, obéissant en cela au sentiment que Lagrange exprimait plus tard : « Mais il (( faut convenir, dit-il dans sa Théorie des fonctions anauly tiques, que cette idée, quoique juste en elle-même, « n'est pas assez claire pour servir de principe à une « science dont la certitude doit être fondée sur l'évidence, (( et surtout pour être présentée aux commençants. » Ils édifièrent donc le calcul infinitésimal sur la notion exclusive des limites ; et, dans les rapports ou les sommes de quantités convergeant vers zéro, ils ne virent plus que les limites mêmes de ces rapports ou de ces sommes, sans vouloir considérer aussi , individuellement, les termes qui les composent. Dans un pareil système , l'expression

'^ , par exemple, ne représente rien, et c'est l'expres-

sion lim -^^^- qui seule a une signification. A plus forte

raison les termes ^f{x) et Aar, qui figurent dans le rapport, ne peuvent-ils jamais être envisagés séparément. En un mot, on a des dérivées et des intégrales (limites de rapports ou de sommes), mais on n'a pas d'accroissements infiniment petits. Un tel point de vue est incontestablement rigoureux, mais offre un inconvénient capital : celui de se prêter fort mal à la mise en équations des problèmes. C'est ce dont il est aisé de se rendre compte en examinant les procédés que nous avons déduits de la considération directe des infiniment petits. La faculté^ évidemment si

commode, de remplacer à tout instant, dans le calcul, un infiniment petit quelconque par un autre qui n*en diffère que d'un infiniment petit d'ordre supérieur, cette faculté, dis-je, échappe complètement^. On peut dire que la méthode des limites avait perdu en simplicité ce qu'elle avait gagné en rigueur sur sa rivale.

93. — La divergence des points de vue que nous venons de signaler était due à la démarcation profonde obstinément établie entre la notion de limite et celle d*infi^ niment petit. Et vraiment on s'en étonne quand on voit combien est étroite la connexion naturelle de ces deux conceptions. Comment, en effet, concevoir une limite sans un infiniment petit correspondant? Puisqu'une limite est une valeur fixe dont s'approche une quantité variable, la différence entre cette limite et la variable n'est-elle pas une quantité décroissant indéfiniment et pouvant être rendue aussi petite qu'on le veut , c'esi-à-dire un infini-

' M. Auguste Comte, bien que placé à un point de vue très-différent du nôtre, — puisqu'il repousse la conception des infiniment petits — n'en a pas moins caractérisé les inconvénients dont nous parlons. « D'un autre « côté, dit-il, elle (la notion exclusive des limites) est bien loin d'offrir, « pour la solution des problèmes, d'aussi puissantes ressources que la më- « thode infinitésimale. Cette obligation qu'elle impose de ne considérer « jamais les accroissements des grandeurs séparément et en eux-mêmes, « ni seulement dans leurs rapports, mais uniquement dans les limites de « ces rapports, ralentit considérablement la marche de l'intelligence pour « la formation des équations auxiliaires. On peut même dire qu'elle gêne « beaucoup les transformations purement analytiques. Aussi le calcul « transcendant, considéré séparément de ses applications , est-il loin « d'offrir dans cette méthode retendue et la généralité que lui a impri- « mées la conception de I^ibnitz. » [Cours de Philosophie positive, t. l»», p. 189.)

250 TROISIËAIB PARTI!*.

ment petit dans la véritable aceeptioii à» bk>C ? Et eoeore, si Ton considère la limite du rapport de deux quantités variables convergeant vers zéro, comment sosger à cette limite sans songer en même temps aux infiameat petit» qui forment les termes du rapport? Inversement, con»ment avoir la notion d'un infiniment petit sans avoir celle de deux quantités dont il serait la différence, ou même sans concevoir la limite posée à cette décroissance indéfinie (limite qui est ici zéro)?

Aussi n'est-ce pas sans surprise que nouft avons va mi des plus éminents penseurs de ee siècle maistenir eatre les deux conceptions une barrière iafranchissable^ pmqu'il admet l'une comme rigoureuse et repousse l'autre comme essentiellement fausse. « Quand on considère, « dit-il , en elle-même, et sous le rapport logique, la cob- (( ception de Leibnitz, on ne peut s'empécber de recon- « naître avec Lagrange qu'elle est radicalement vicieuse^ a en ce que, suivant ses expressions, la notion des inftaî- « ment petits est une idée fausse, qu'il est impossible, en « effet, de se représenter nettement, quoiqu'on se fasse « quelquefois illusion à cet égard. L'analyse transcende dan te, ainsi conçue, présente, à mes yeux, cette grande « imperfection philosophique, de se trouver encore essen- « tiellement fondée sur ces principes métaphysiques dont « l'esprit humain a eu tant de peine à dégager tontes ses « théories positives. Sous ce rapport, on peut dire que la « méthode infinitésimale porte vraiment Tempreinte carac- « téristique de l'époque de sa fondatîoa etdii génie propre « de soo fondateur^. »

' Auguste Ck>mte, Philosophie positive.

94. — AU fond, les motifs des répugnances manifestées contre les infiniment petits se résument dans cette pensée de Lagrange, qu*on a « le grand inconvénient de consi- (( dérer les quantités dans Tétat où elles cessent, pour i< ainsi dire, d'être quantités; » autrement dit, les infiniment petits n'existent pas. Il me paraît qu'il y a là un malentendu. Veut-on parler des quantités naturelles, ou de Tobjet de nos conceptions rationnellesl Si Ton entend que dans la nature il n'y a pas d'infiniment petits, c'est incontestable; tout ce qui existe est déterminé et par conséquent fini. Mais à ce point de vue, il n'y a pas non plus de quantité variable : une quantité, par cela seul qu'elle est, a une valeur actuelle précise. Noire esprit seul crée la notion de variable, en rapprochant les grandeurs de quantités voisines et les regardant comme des valeurs successives d'une même quantité. La notion de variable n'est pas plus légitime que celle d'infiniment petit, et il faut les admettre ou les repousser toutes les deux.

C'est en rendant aux limites et aux infiniment petit» leur connexité aaturelle, qu'on arrive à constituer une méthode shaiple et rigoureuse : simple quant à ses pr^ cédés, rigoureuse quant à ses bases*