DE FONCTIONS

1. On dit que deux quantités sont fonction l'une do l'autre lorsque, la valeur de l'une d'elles étant fixée, la valeur de l'autre s'ensuit, et réciproquement,

La surface d'un cercle et son rayon, l'espace parcouru par un corps tombant librement dans le vide et la durée de sa chute sont des quantités fonction l'une de l'autre; car la longueur du rayon détermine l'aire du cercle, et la durée de la chute en détermine la hauteur.

La dépendance réciproque s'établit au moyen d'une relation analytique^ qu'on nomme équation. — C'est à dessein que nous disons analytique : voulant faire entendre par là que la relation supposée est exprimable avec les algorithmes de l'Analyse. 11 y a une foule de relations naturelles, que nous sommes impuissants à exprimer sous une forme analytique; ce ne sont pas là de véritables équations, et nous n'avons pas à nous en occuper (*).

(*) « On se forme ordinairement une idée beaucoup trop vague de » ce que c'est qu'une équation, lorsqu'on donne ce nom à toute es- » pèce de relation d'égalité entre des fonctions quelconques des

6 , PREVIÈRE PARTIE.

Toute fonction implique une équation, et, inversement, toute équation implique une fcmetion : ou plutôt c*est une seule et même idée sous des termes différents.

Les deux quantités, fonction l'une de l'autre, étant liées par une seule équation, peuvent recevoir chacune une infinité de valeurs différentes, à la condition que ces valeurs satisfassent toujours à l'équation donnée. Pour ce motif on

> grandeurs que Ton considère. Car si toute équation est évidem-

• ment une relation d'égalité, il s'en faut de beaucoup que, récipro-

> quement, toute relation d'égalité soit une véritable équation, du » genre de celles auxquelles, par leur nature, les méthodes ana-

> ly tiques sont applicables

'> Il y a là un vice logique qu'il importe beaucoup de rectifier. ê Pour y parvenir, je distingue d'abord deux sortes de fonctions:

• les fonctions abstraites, analytiques, et les fonctions concrètes. » Les premières peuvent seules entrer dans les véritables équations,

• en sorte qu'on pourra désormais définir, d'une manière exacte et

* suffisamment approfondie, toute équation une relation d'égalité « entre des fonctions abstraites des grandeurs considérées.

• Les fonctions que j'appelle abstraites sont celles qui expriment 9 entre des grandeurs un mode de dépendance qu'on peut concevoir

> uniquement entre nombres, sans qu'il soit besoin d'indiquer aucun « phénomène quelconque où il se trouve réalisé. Je nomme, au con- » traire, fonctions concrètes celles pour lesquelles le mode de dépen-

• dance exprimé ne peut être défini ni conçu qu'en assignant un cas physique déterminé, géométrique, mécanique ou de toute autre » nature, dans lequel il ait effectivement lieu.

• La plupart des fonctions, à leur origine, celles même qui sont n aujourd'hui le plus purement abstraites, ont commencé par être

* concrètes ; en sorte qu'il est aisé de faire comprendre la distinc- » tion précédente, en se bornant à citer les divers points de vue » successifs sous lesquels, à mesure que la science s'est formée, les ' géomètres ont considéré les fonctions analytiques les plus simples.

• J'indiquerai, par exemple, les puissances, devenues en général » fonctions abstraites depuis seulement les travaux de Yiète et de

* Descartes. Ces fonctions x*,x»,... qui dans notre analyse actuelle « sont si bien conçues comme simplement abstraites, n'étaient, pour

* les géomètres de l'antiquité, que des fonctions entièrement con- 9 crêtes, exprimant la relation de la superficie d'un carré ou du

* volume d'un cube à la longueur de leur côté. ^

(Al^guste Comte, Cours de Philosophie positive, 2* édition, 1. 1'% p. 122.)

NOTIONS FONDAMENTALES. i

donne aux quantités le nom de variables. Celle qu'on choisit pour la faire varier directement, d'une manière arbitraire, est dite variable indépendante; et l'autre, qui varie en conséquence des valeurs attribuées à la première, est nommée variable dépendante. C'est à celle-ci que s'applique plus particulièrement la qualification de fonction : lorsqu'on dit que la variable y est fonction de la variable a?, il est sousentendu que la variable x est prise comme indépendante relativement à y; si c'était le contraire qui eût lieu, on aurait soin d'en avertir expressément.

On nomme fonction explicite celle qui provient de la résolution de l'équation par rapport à la variable dépendante, et fonction implicite celle qui est contenue dans une équation non encore résolue ( * ) .

La fonction implicite est de sa nature essentiellement transitoire et doit être considérée, dans un calcul, comme devant être ramenée tôt ou tard à la forme explicite. C'est ce qui résulte du choix même d'une variable indépendante : pour que la valeur corrélative de la variable dépendante soit obtenue, il faut que l'équation puisse être résolue par rapport à cette dernière.

2. Théoriquement, toute équation peut être résolue ou du moins conçue comme résolue par rapport à l'une quel-

( ' ) Par exemple, dans l'équation de l'ellipse

Tordonnée y, considérée comme variable dépendante, est une fonction implicite de l'abscisse x. Si l'on résolvait par rapport à y, la nouvelle équation

représenterait une fonction explicite de x.

conque des variables qui y figurent. Rien n'empêche, par conséquent; de prendre pour variable dépendante celle à laquelle il plaît de faire jouer ce rôle, et de considérer Tautre variable comme indépendante. Mais cette faculté, illimitée en théorie, est restreinte, dans la pratique, par la conve* nance de laisser aux quantités leur rôle naturel'; j'entends par là qu'on doit leur assigner dans le calcul une destination en harmonie avec leur signification concrète. Ainsi, quand on dit que Tespace parcouru par un corps tombant librement dans le vide est une fonction de la durée de sa chute, on se conforme, dans cet énoncé, aux règles d'une saine logique. Mais si, renversant les rôles, — comme on en a le droit au point de vue de la pure Analyse, ^- on vient à dire que la durée de la chute est une fonction de l'espace parcouru, cette manière de présenter la loi du phénomène heurtera le jugement. Car la nature des choses nous indique que la variable véritablement indépendante (puisqu'elle varie indépendamment de nous, de nos expériences et de nos mesures), c'est le temps, et que l'espace parcouru augmente en conséquence des augmentations de la durée. De même on pourrait dire abstraitement que le rayon d'un cercle est fonction de sa surface, puisque, la surface étant assignée, le rayon s'ensuit nécessairement. Mais un tel énoncé, bien que ne heurtant pas aussi directement les données physiques que celui de l'exemple précédent, ne laisserait pas de contrarier les notions résultant d'une habitude journalière; car la détermination expérimentale du rayon étant plus simple que celle de l'aire du cercle, la précède ordinairement ou en est indépendante, et dès lors celle-ci doit être envisagée comme dépendant de celle-là.

Pour le même motif, dans les équations auxquelles on attribue une signification géométrique, ou qui représentent

des courbes, on prend Tabscisse pour variable iadépendante, de préférence à l'ordonnée; c'est parce que Taxe des abscisses figure une base horizontale et celui des ordonnées une base verticale. Or, nous savons par expérience qu'il est plus facile et par conséquent plus naturel de compter d^abord horizontalement les distances, et de porter ensuite au-dessus la longueur qui doit marquer la hauteur du point. Si Ton voulait agir inversement, c'est-à-dire mesurer: d'abord la hauteur, et mener ensuite, par l'extrémité de cette hauteur» une ligne horizontale, on éprouverait le plus souvent, dans Tordre physique, de très grandes difficultés.

Ces considérations, qui doivent toujours guider pour le choix de la variable indépendante, sont d'ailleurs, je le répète, sans aucune influence sur le calcul envisagé abstraitement. Il est loisible, pour la plus grande commodité des opérations analytiques, d'alterner les rôles, à volonté, entre les variables de la question.

3. L'équation qui relie les variables contient d'autres quantités qui restent les mêmes, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables. Ainsi, dans l'équation qui exprime l'aire du cercle en fonction du rayon, figure le nombre w (3,1415926. . .), qui ne varie pas avec le rayon; dans l'équation qui exprime la hauteur parcourue en fonction de la durée de la chute, figure le nombre g (9,808. . .), qui ne varie pas aux divers moments du phénomène.

Il est même facile de comprendre qu'aucune équation ne saurait subsister entre deux variables, sans la présence d'une ou plusieurs quantités constantes. Car, à moins de supposer une relation aussi simple que celle-ci : y= x, la fonction de x qui représente, explicitement ou implici-

tement, la valeur de y, nécessite pour sa formation le concours de certaines quantités numériques, qui affectent la variable x de diverses manières, soit comme multiplicateurs, soit comme exposants, soit comme bases de puis* sauces, etc.

Les quantités constantes sont simplement appelées cons* tantes ou paramètres {'). On les désigne par les premières lettres de Talpbabet a, b, c, ..,, tandis que les variables sont désignées par les dernières lettres a?, y, 5, . . . Ces paramètres représentent toujours des nombres, connus ou inconnus, mais absolument indépendants des valeurs quel* conques attribuées aux variables.

4. Une quantité peut être fonction de plusieurs variables indépendantes. Le volume d'un cylindre, par exemple^ dépend à la fois de sa bauteur et du rayon de sa base. L'espace parcouru par un mobile, sous l'influence d'une force agissant en ligne droite, dépend non seulement du temps écoulé, mais aussi de l'intensité de la force motrice. Si le mobile se mouvait dans un milieu résistant comme Teau ou Tair, cet espace dépendrait en outre de la résistance du milieu. Sans multiplier les exemples, on comprend qu'on puisse être conduit à considérer des fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Ces variables sont susceptibles de recevoir chacune une infinité de valeurs arbitraires, et la fonction, de son côté, prend des valeurs correspondautes. L'indétermination se trouve encore plus grande que dans les équations à deux variables, puisqu'on dispose à volonté des valeurs simultanées de plusieurs quantités.

(' ) Ce terme est emprunté à la théorie des sections coniques.

On applique d'ailleurs aux fonctions de plusieurs variables les mêmes dénominations qu'aux fonctions d'une seule; on y distingue des constantes et des variables, des fonctions explicites et des fonctions implicites, etc., etc.

5. Nous avons supposé jusqu'à présent la dépendance immédiate, c'est-à-dire établie directement par une équation entre la variable dépendante et les variables indépendantes. Cette corrélation peut être médiate ou indirecte, c'est-à-dire réalisée par l'intermédiaire d'autres équations et d'autres variables, qui ne servent en quelque sorte que de traits d'union entre celles dont on s'occupe véritablement. Ainsi, dans les exemples cités en commençant, on pourrait dire que la surface du cercle est fonction du périiïiètre, lequel à son tour est fonction du rayon ; et que l'espace parcouru dans la chute d'un corps est fonction de la vitesse acquise, laquelle à son tour est fonction de la durée. Le périmètre et la vitesse seraient des variables accessoires, servant à établir l'enchaînement entre l'aire et le rayon, d'une part, entre l'espace et le temps écoulé,, d'autre part. On serait d'ailleurs toujours maître de les faire disparaître par des substitutions convenables, en remontant d'une équation à l'autre, jusqu'à ce qu'on ait mis en évidence la relation directe entre les variables indépendantes et la véritable variable dépendante. Mais bien qu'on puisse envisager ces dépendances médiates comme essentiellement provisoires et destinées à disparaître dans une élaboration définitive de la question, on n'en est pas moins conduit à leur faire une part dans le calcul, afin, précisément, d'éviter au moment même les substitutions plus ou moins compliquées que leur disparition immédiate rendrait nécessaires.

Une fonction dans le genre de celle qui exprimerait Tes-

pace parcouru au moyen de la vitesse acquise se nomme fonction de fonction^ pour indiquer que la quantité qui y joue en apparence le rôle de variable indépendante (la vitesse acquise) est en réalité, une fonction de la véritable variable indépendante (la durée).

S'il existe à la fois plusieurs variables accessoires, la fonction de ces fonctions a la forme d une fonction de

plusieurs variables indépendantes.

6. La considération des fonctions est aussi ancienne que Tétude même des phénomènes, ou plutôt ne s'en distingue pas. Car qu'est-ce que la définition des fonctions, sinon la définition même des lois des phénomènes? Trouver la loi d'un phénomène, c'est établir entre ses divers éléments ou entre les diverses circonstances qui concourent à sa formation une ou plusieurs équations qui permettent de déduire certains de ces éléments, quand les autres sont connus. La loi de la gravitation universelle, par exemple, consiste à exprimer, par une équation, la valeur de l'attraction en fonction des masses des corps en présence et de la distance qui les sépare. La loi du refroidissement d'un corps dans le vide consiste à exprimer la température en fonction du temps écoulé, etc., etc.

Disons plus : il n'est pas un problème, en apparence le plus étranger à la recherche des lois, qui ne conduise à une fonction où l'expression d'une loi se trouve implicitement. C'est même là ce qui fait la généralité et par suite la supériorité de l'Algèbre ; car le problème une fois résolu, la formule qui en fournit la solution fournit aussi celle de tous les autres problèmes de même nature, sans qu'il soit nécessaire de refaire les calculs pour chaque cas particulier. Ainsi, avant trouvé que l'aire d'un cercle de rayon déter-

miné est égale à un nombre constant multiplié par le carré de ce rayon, on sait que cette formule conviendra à tous les cercles, et qu'il suffira pour chacun d'eux de remplacer la valeur primitive du rayon par celle qui est assignée actuellement. En sorte que, par une généralisation naturelle, on est conduit à enlever à Féquation son caractère étroit d'équation de solution^ pour y voir désormais une fonction, c'està-dire l'expression de la loi des surfaces circulaires. De même, dans l'équation qui donne la longueur de l'espace parcouru, sous l'action d'une force constante, au bout d'un temps déterminé, on doit chercher autre chose que l'expression d'un fait particulier, propre à la durée assignée, et l'on doit y voir la loi même du mouvement dû à cette force, loi qui consiste en ce que l'espace parcouru est proportionnel au carré du temps employé à le parcourir.

Rien donc déplus naturel, de plus primitif, si j'ose ainsi dire, que la considération des fonctions. Par suite, rien qui soit en connexion plus immédiate avec la solution des problèmes, but définitif de toutes les sciences, que la branche de calcul qui s'occupe spécialement de l'étude des fonctions mathématiques.