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les plus distingués de Tépoque, M. Bélanger. Voici comment s'exprime cet auteur, dans son Résumé de leçons de Géométrie analytique et de Calcul infinitésimal (p. 180) : « Le troisième mode de » considérer dy et dx est une conséquence des observations précé- » dentés. On peut assigner à dx un tel degré de petitesse, que dy

* puisse, sans crainte d'erreur dans les applications ou les consé-

* quences qu'on en tirera, être pris pour Ay, et réciproquement. » Un tel point de vue a, selon nous, l'inconvénient capital de donner au Calcul infinitésimal l'apparence d'un calcul d'approximation, tandis qu'il est tout aussi rigoureux que les opérations de l'Algèbre ordinaire.

(*) On peut voir cette idée catégoriquement formulée dans les Éléments de Calcul différentiel et intégral de M. Boucharlat (p. 3 et suiv.). Le raisonnement, bien que relatif à la fonction particulière y = X', n'en est pas moins général, comme il est facile de s'en convaincre. L'accroissement de x étant désigné par 7i, et celui de y par î/j — y, l'auteur développe le point de vue en ces termes :

« Dans l'hypothèse de h = 0, l'accroissement de y devenant aussi

» nul, * , ' se réduit à rr> et par conséquent l'équation (3) (celle qui

» fournit la valeur de la dérivée) devient

» Cette équation n'a rien d'absurde, parce que l'Algèbre nous apprend

» que X peut représenter toutes sortes de quantités. D'ailleurs on

» conçoit que, puisqu'en divisant les deux termes d'une fraction par » un même nombre cette fraction ne change pas de valeur, il en » résulte que la petitesse des termes d'une fraction n'influe en rien » sur sa valeur, et que, par conséquent, elle peut rester la même

plutôt^ ost envisagé comme synonyme de linir^ et par suite de f(x); à la faveur de cet expédient on peut écrire

^z=if'[x\ ou dy=if\x)dx.

( Mais qui ne voit là une subtilité destinée à tromper les yeux ; plutôt que Tesprit? car si les accroissements sont ramenés à Tétat de purs zéros, ils n'oat plus aucune signification. Leur propre est d'être, non pas rigoureusement nuls, mais indéfiniment décroissants, sans pouvoir jamais se confondre avec zéro^ en vertu de ce principe général qu'une variable ; ne peut jamais coïncider avec sa limite (8). La fonction dérivée est non l'expression du rapport de ces accroissements pris à aucun état de petitesse, mais la limite vers laquelle tend ce rapport. Lors donc qu'on arrive à poser

» alors que ses termes sont parvenus au dernier degré de petitesse, r c'est-à-dire sont devenus nuls.

» La fraction ^j qui se trouve dans l'équation (3), est un symbole

» qui a remplacé le rapport de l'accroissement de la fonction à celui » de la variable : comme ce symbole ne laisse aucune trace de cette

» variable, représentons-le par -—-^ ; alors -p nous rappellera que la

» fonction était y et que la variable était x. Mais dy et dx ne seront » pas moins des quantités nulles» et nous aurons

» -T^j OU plutôt sa valeur 3x*, est le coefficient différentiel de la fonc-

w tion y.

(lij »» Remarquons que -p étant le signe qui représente la limite Sx*

» [comme le montre l'équation (4)], dxdoit toujours être placé sous » dy. Cependant, pour faciliter les opérations de TAlgèbre, on peut » momentanément faire évanouir le dénominateur de l'équation (4) w et Ton a. dy = Zx*dx. Cette expression 3x*d.xr est ce qu'on appelle » la différentielle de la fonction y. »

A?/ f'ix) ^=^lim~ y les deux termes du rapport sont inscpa-

Ai/ râbles, et la quantité tout entière liinr^ n'est plus qu'un

symbole qui signifie proprement : La valeur fixe vers laquelle converge le rapport de ày à Ax quand ces accroisse* ments diminuent indéfiniment. Il devient illusoire, pour se

donner le droit de décomposer la quantité lim^? de la représenter par jT et ensuite par -p? en ne voyant plus dans

ces termes dy et dx individuellement que de purs symboles, et non des grandeurs effectives. En outre, quel sens pourront avoir des relations d'une forme comme celle-ci :

f\x\dx^={),

qu'on rencontre fréquemment dans l'Analyse? Si dx est conçu comme exactement nul, cette relation n'est plus qu'une identité, satisfaite pour toute valeur Aq f [x]. Lorsqu'au contraire on laisse à dx son véritable caractère d'accroissement effectif quoique indéterminé, la relation implique nécessairement qu'on ait /*'t.Tl =: 0, ce qui est, en effet, la condition qu'on doit trouver.

C'est ce genre de conception que Lagrange avait sans doute en vue, et c'est à elle que doit s'adresser la critique que l'immortel géomètre faisait peser, à tort, sur la méthode même des limites, lorsqu'il disait : « Mais cette méthode » (celle des fluxions) a, comme celle des limites dont nous » avons parlé plus haut, et qui n'en est que la traduction » algébrique, le grand inconvénient de considérer les quan- » tités dans l'état où elles cessent, pour ainsi dire, d'être » quantités : car, quoique l'on conçoive toujours bien le

» rapport de deux quantités tant qu'elles demeurent finies, » ce rapport n'offre plus à l'esprit une idée claire et pré- » cise, aussitôt que ses termes deviennent l'un et l'autre » nuls à la fois. »

La critique serait fondée, à l'égard de la méthode des limites, si effectivement on. y prenait le rapport de deux quantités qu'on supposerait nulles à la fin. Mais il ne s'agit point de cela, comme nous venons de le voir. Ce que l'on calcule, ce n'est pas le rapport des quantités, à un état plus ou moins avancé de petitesse, mais la limite finie et fixe vers laquelle tend ce rapport ( sans qu'il puisse jamais l'atteindre absolument), à mesure que les termes diminuent de plus en plus. Ainsi, quand nous avons trouvé que le rapport de l'accroissement d'une certaine fonction à l'accroissement de la variable est égal à 2x-h p-\- h (c'est la fonction qui figure au renvoi de la page 35), nous ne nous occupons point d'évaluer cette quantité en y supposant h plus ou moins petit, mais nous concluons immédiatement que la limite vers laquelle tend le • rapport, à mesure que h décroît, est 2a; 4- p ; en sorte que 2x-hp représente la dérivée cherchée, abstraction faite de toute valeur de /i. Ce résultat est donc dégagé de toute considération de quantité prise dans l'état où elle cesse, pour ainsi dire, d'être quantité.

Il n'est pas douteux que Lagrange, lorsqu'il dirigeait cette critique contre la conception des limites, ne l'avait pas suffisamment distinguée de celles qui, pour déguiser leur erreur fondamentale, en prennent faussement les apparences.