La relation précédemment trouvée

permet de déduire plusieurs conséquences intéressantes,

1** Lorsque la variable reçoit, à partir d'une certaine valeur x, un accroissement suffisamment petit, Taca^oissement qui en résulte pour la fonction est positif ou négatif, selon que la dérivée est elle-même positive ou négative pour la valeur initiale de la variable.

En effet, la quantité entre crochets se compose de deux termes f'[x) et a, dont le second peut être rendu aussi petit qu'on veiit, par rapport au premier, en preiiaùt Aa; convenablement réduit. Le signe du crochet est donc déterminé par celui de/*' (a;).

Ainsi la fonction y croît ou décroît pendant un certain temps, à partir de la valeur x, selon que la dérivée est!po'sitive ou négative pour cette valeur.

De Freïcinet. -- Anal, infîn. 4

2* Si la dérivée s'annule en changeant de signe, pour une certaine valeur de la variable, c'est-à-dire si la dérivée, étant, par exemple, positive pour des valeurs de la variable un peu inférieures, devient négative pour des valeurs un peu supérieures, la fonction donnée passe par un maximum^ c'està-dire par une valeur plus grande que toutes celles qui précèdent ou qui suivent immédiatement.

C'est une conséquence de ce que le signe de l'accroissement de la fonction dépond de celui de la dérivée. Il en résulte que la fonction donnée croît jusqu'à la valeur qui annule la dérivée, et décroît au delà de cette valeur.

Le contraire aurait lieu et la fonction passerait par une valeur minimum si la dérivée était d'abord négative et ensuite positive. /

3* Si la dérivée est nulle pour toutes les valeurs de la variable comprises dans un intervalle donné, la fonction est constante dans cet intervalle.

Car on peut faire croître x par degrés sfssez rapprochés pour que la quantité « correspondant à chacun des accroissements imprimés à x soit moindre qu'une valeur c, aussi petite d'ailleurs qu'on voudra la supposer. Dès lors, chaque accroissement de la fonction sera moindre que e Aa?, et la somme de ces accroissements, ou l'accroissement total reçu par la fonction dans l'intervalle supposé, sera moindre que tl, en désignant par / cet intervalle. Or, s pouvant être pris indéfiniment petit, et / étant une quantité finie, le produit e/ peut être réduit au delà de toute limite : ce qui revient à dire que la fonction n'a pas varié pendant tout l'intervalle considéré.

4** Si la fonction donnée croît constamment dans un certain intervalle, la dérivée ne peut jamais prendre dans cet intervalle de valeur négative.'

CALCUL INFINITÉSIMAL. 5f

Car au moment où la dérivée deviendrait négative, la fonction décroîtrait pendant un certain temps : ce qui est contraire à l'hypothèse.

De même, si la fonction donnée décroît constamment, la dérivée est toujours négative.

Rien n'empêche d'ailleurs que la dérivée passe une ou plusieurs fois par la valeur zéro. Ce qu'il faut, c'est qu'elle ne change pas de signe en s'annulant.

5** Lorsque deux fonctions sont égales, quelles que soient les valeurs attribuées à la variable indépendante, les dérivées sont aussi égales.

Car si, pour une certaine valeur de la variable, il existait entre les dérivées une différence quelconque, les accroissements des deux fonctions différeraient nécessairement, puisqu'ils sont respectivement égaux au produit de la dérivée par l'accroissement de la variable, plus un terme additionnel qui peut être rendu aussi petit qu'on le veut par rapport à ce produit. Dès lors les valeurs des fonctions, correspondant à cet accroissement de la variable, cesseraient d'être égales : ce qui est contraire à l'hypothèse.

La même proposition subsiste évidemment quand les fonctions données ont entre eUes une différence constante.

€• Réciproquement, si les dérivées de deux fonctions sont égales, pour toutes les valeurs de la variable, les fonctions ne peuvent différer que d'une quantité constante.

22, L'accroissement, la dérivée et la différentielle d'une fonction sont susceptibles d'une représentation géométrique.

Considérons la fonction et la variable comme les deux coordonnées d'une courbe ayant pour équation y = f(x). Soit AB (figA) cette courbe, et M un point quelconque répon-

dant à deux valeurs x et y des coordonnées. Prenons un point voisin M', et désignons ses coordonnées par rr + Ax et y -T- Ay. Les accroissements Ax et Ay seront respectivement

Fig. 1.

représentés sur la figure par les longueurs PP' ou MH et M'H.

Le rapport ■—- ou '^r™ ne sera autre chose que la tangente

trigonométrique de l'angle formé par la sécante MM'S avec Taxe des x. Si Aa? et Ay diminuent indéfiniment, le point M' se rapprochera de plus en plus du point M, et la sécante MS

tendra à se confondre avec la tangente MT. Le rapport ^j

qui ne cesse pas d'être représenté par la tangente trigonométrique de Tangle formé par MS, dans toutes ses positions, aura pour limite la valeur de la tangente trigonométrique de Tangle formé par la droite W£. La dérivée ou le quotient différentiel, correspondant à une valeur x de la variable, mesure donc Tinclinaison, sur Taxe des x, de la tangente menée à la courbe par le point qui a pour abscisse cette valeur de la variable. On voit en même temps que

la différentielle de la fonction, ou f\x]dx^ est figurée par NH, et que la seconde partie de l'accroissement, ou a dx^ est figurée par M'N.

Ainsi Taccroissement de l'ordonnée de la courbe représente Taccroissement de la fonction, et Taccroissement de Tordonnée de la tangente représente la différentielle. Ces ordonnées tendent de plus en plus à se confondre, à mesure que les deux points se rapprochent davantage, et leur rap^ port a pour limite Tunité.