DÉCOMPOSITION DES FONCTIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES
23. Reprenons maintenant le problème algébrique de la recherche de la dérivée ou de la différentielle d'une fonction quelconque.
I^a définition même de la dérivée indique la nature des
opérations à effectuer. Le rapport -^ n'est autre que
— — -' Pour trouver la limite vers laquelle
converge cette quantité, à mesure que Ao? diminue, il faut faire la substitution i&x -\- \xh.x dans la fonction donnée, développer le polynôme qui en résulte, en retrancher f[x]y diviser le reste par Ao?, et voir quelle est la limite du quotient ainsi obtenu, lorsque Ao? tend vers zéro. Il est évident que la limite de chacun des termes qui composent ce quotient est précisément la valeur que prend le terme quand oh y suppose Aa? nul. Telle est l'hypothèse qu'il faut introduire
Av
dans l'expression développée du rapport ~^«
AX
CALCUL INPINITÉSllIAL. 55
Soit, par exemple, la fonction
Le rapport ^ est ici égal à
[x -h Ax)* H —^ h 6 — ( x*H- - -f- 6 ) .
■ ^ ' a; -i- Ax \ X /
En développant les calculs indiqués et effectuant les réductions qui en ressortent, la fraction devient
a Ax
2x AxH- Ax* -
x(x-hAx) ^ a (^
ou 2 X -f- Ax
Ax X[x-hAx)
La limite vers laquelle converge cette quantité, quand Ax
tend vers zéro, est évidemment 2x — ;-^> qui est l'expression
finale de la dérivée.
24. Les fonctions pouvant avoir les formes les plus diverses, et, par suite, les opérations algébriques pouvant devenir extrêmement compliquées, on a dû rechercher des procédés généraux qui permissent de ramener le calcul d'une dérivée quelconque à celui d'un certain nombre de dérivées particulières.
Au premier abord, un tel objet semble chimérique, car les fonctions affectent toutes sortes d'expressions, sans aucun rapport les unes avec les autres. Mais cette difficulté cesse de paraître insurmontable, si l'on remarque que les fonctions présentent, malgré leur diversité, les mêmes opérations fondamentales. Il faut toujours en arriver, en dernier ressort, à des additions, des soustractions, des multiplications, des logarithmes, etc., qui sont comme les éléments constitutifs de toute fonction. Ces opérations finales sont d'ailleurs irré-
3EÇ0NDE PARTIE.
dtwtibles; je veux dire par là. qu'on ne peut les remplacer ar d'autres ni les décomposer en opérations plus simples. Elles ont chacune leur iiécessité, puisée dans la conformation môme de l'esprit humain.
On entrevoit,- dès lors, la possibilité de décomposer les fonctions, si compliquées qu'en soient les formes, en un certain nombre d'éléments primitifs, toujours les mêmes, et par suite de déduire leurs dérivées de celles de ces mêmes fonctions élémentaires.
On appelle fonctions simples celles dans lesquelles la variable se trouve engagée par une seule des opérations fondamentales de l'Analyse. En d'autres termes, les fonctions simples sont l'expression même de ces opérations, désignées généralement sous le nom d'algorithmes. Les algorithmes ou les fonctions correspondantes sont, dans l'état présent de nos connaissances, au nombre de dix, réciproques deux à deux l'une de l'autre, et pouvant dès lors être rangées en cinq groupes binaires, dont voici le Tableau :.
y — ax,
y zzz a-^, y -rz. logrr, y - sina?,
y — arcsina?,
fonction somme;
fonction différence ; îonciion produit;
fonction quotient;
fonction puissance;
fonction racine; fonction exponentielle; fonction logarithmique ; fonction circulaire directe; fonction circulaire, inverse.
Nous ne mentionnons pas les fonctions coso?, arccoso:, tanga?, arctanga?, etc., parce qu'elles rentrent dans sinx et arc sinx (*),
Ces fonctions simples se combinent de mille manières pour constituer des fonctions d'une forme plus ou moins compliquée. Mais à travers cette diversité, les éléments primitifs restent les mêmes ( ').
( M La définition que nous avons donnée des fonctions simples ne signifie pas que la variable ne figure qu'une fois dans la fonction, mais bien qu'elle n'est l'objet que d'une seule opération, ce qui est
fort différent. Ainsi v^l +x n'est pas une fonction simple, parce que la variable s'y trouve engagée : !• par voie d'addition, 2« par voie
d'extraction de racine. Au contraire, (/l H-fl)"*x est une fonction simple de x, parce que x n'est engagée que par voie de produit. De
même sin - n*est pas une fonction simple, et — — : en est une.
(*) « L'introduction, dans l'Analyse, d'une autre fonction abstraite » élémentaire, pu plutôt d'un autre couple de fonctions (car cha- » cune serait toujours accompagnée de son inverse), suppose néces- » sairement la création simultanée d'une nouvelle opération arith7 » métique, ce qui est certayiement fort difficile. » (Auguste Comte, Philosophie positive, t. I, p. 137.)
