FONDAMENTAL

26. La dififérentîation des fonctions composées (formées, comme nous l'avons déjà dit, par des combinaisons de fonctions simples) se ramène à celle des fonctions simples au moyen du théorème général suivant :

Si y est une fonction médiate de x, c'est-à-dire si l'on a

M, V, 11; , . . . étant respectivement des fonctions de a?, la différentielle de y par rapport à x s'obtient en prenant la différentielle de f(u,v,w,...)y successivement par rapport à u,v,Wj,..^ considérées tour à tour comme des variables indépendantes, et en ajoutant les résultats ainsi obtenus. En d'autres termes, je dis qu'on aura

df , df . df , dy^^-T- du-h-f- dv -h zr-dw -h ... ; ^ du do dw

la quantité ~ représente la dérivée prise par rapport à u, comme si u était la variable indépendante, et comme si

CALCrL INFINITESIMAL. 6t

Vy m;, . . . étaient des constantes; de môme ^ représente la

dérivée par rapport à v, comme si v était la variable indépendante et u, te, . . . des constantes ; et ainsi de suite. Quant aux différentielles du, dv^ dw,...^ qui multiplient ces dérivées, elle résultent de la variation de x dans les diverses fonctions qui représentent respectivement les quantités w,t?, t/?...

D'après ce théorème, la différentielle de la fonction y sera obtenue sous cette double condition :

1* Qu'on sache différentier y par rapport à chacune des quantités UyV,w...;

2* Qu'on sache différentier u, v, it\ . . . par rapport à x.

Afin de simplifier le raisonnement, prenons le cas de deux variables seulement, u et v. Soit donc y = /^u, v).

Je suppose que x reçoive un accroissement àx. Les quantités y, u et v, qui sont fonction de Xy recevront des accroissements correspondants que je désigne respectivement par A?/, Au, Av. et l'on aura

Ai/—- f{u 4- \Uy V -f- Ay) — f(u, v].

Le résultat serait évidemment le même si, au lieu de faire varier x simultanément dans les fonctions w et v, on la faisait varier successivement dans chacune d'elles. Or en opérant la variation d'abord dans u, par exemple, la fonction y devient /*(w-i- Au, v)y et il se produit un premier accroissement égal à /*(u-i- Au, v) — /*(u, u). Si l'on fait ensuite varier x dans v, la fonction y, qui était, comme nous avonjT vu, /*(u4-Au, v]y devient maintenant /"(un- Au, i? 4- Av), et il en résulte un deuxième accroissement représenté par

/*(u -h Au, V -+- Al') — f[u H- Au, v].

L'accroissement total de y, qui est la somme de ces deux accroissements successifs, a donc pour valeur

/"(?/-+- Au, v) —f(u,v) -h/*(i/ -f- Aî^r-h Av) —/*(!/ -h Aî/, r).

Cette expression se réduit, comme on devait s'y attendre, à

ceUe que nous avions immédiatement obtenue en faisant

varier a; à la fois dans u et dans i^. Mais la forme différente

à laquelle conduit la variation successive permet de faire

ressortir le théorème que nous avons énoncé.

Al/ Le rapport ^ peut en effet s'écrire :

\y __ f(u-\"\u^v) — f(u, v) Aw Ax \û Ao;

/*(wH- Aw,VH- Al?) — f(u-^\u.v] Ar

AV ùkX

Si Ton fait décroître Aa? indéfiniment, les rapport -7^ ^ 7—

^^ Ao? Aa;

et j- convergeront respectivement vers les dérivées de y, w

^ , » X X j» dy du ^ dv

et v, prises par rapport à x, c est-à-dire vers j^^ j- ^t -z--

Quant à la fraction — — ^ '-^—^ — » il est visible

qu'elle aura pour limite la dérivée de la fonction f(u^v), prise par rapport à u, comme si u était la variable indépendante et V une constante : cela résulte de ce que Au converge vers zéro en même temps que Aa;. La limite de cette

expression peut donc se désigner par ;j^- L'autre fraction

/■(u -+- Au, ^' H- A?0 — /"(u -h Au, ?;) , • , •

T-— ^ converge, de son côte,

vers la valeur de la dérivée def(u,v), prise par rapport à V ; car, si Ton considère u comme constante, la limite de cette fraction est évidemment la dérivée de f(u-^^u,v), fonction qui n'est autre que f(it,v quand Aa?, et par suite

Aw, est ramené à zéro. On peut donc la représenter par j-

Dès lors, l'équation précédente conduit à celle-ci :

dy df du df dv

dx du dx dv dx

£n multipliant tous les termes par dx^ et remarquant que

les produits des dérivées j^^^^yj-y par l'accroissement dx,

dx (tx dx

sont égaux aux différentielles de y de t/ et de v, on obtient

la relation annoncée :

qu'on peut écrire également ainsi :

dy—4^dv-\--]^dv, ^ du dv '

en ayant soin de distinguer la différence de signification de dy dans les deux membres. Dans le premier, dn^ représente

(*) 11 faut bien remarquer que, dans le second membre, la quantité du, qui figure en multiplicateur et en dénominateur, n'a pas la même signification dans les deux cas, et que, par suite, le terme

jf-du ne peut pas se remplacer simplement par df. En effet, -j-

signifie que la dérivée est prise par rapport à u, comme si u était une variable indépendante; et le multiplicateur du représente la différentielle de u, telle qu'elle résulte de la variation de x dans la fonction désignée par u, La même remarque s'applique au terme

zr- dv.

dv .

la différentielle de y provenant de la variation de x à la fois dans u et dans v ; dans le second membre, dnf représente la différentielle dé y provenant de la variation de i dans une seule des fonctions u ouv.

27. Ce théorènie fournit les moyens de ramener la diflférentiation d'une fonction quelconque à la différentiation des fonctions simples. Car quelle que soit la nature d'une fonction, c'est-à-dire de quelque manière qu'elle soit formée avec la variable, ce ne peut jamais être que par un ensemble d'opérations ayant toutes le caractère de celles qui donnent lieu aux fonctions simples. Ces opérations peuvent d'ailleurs être isolées les unes, des autres ou superposées les unes aux autres (*), et produire des termes plus ou moins compliqués; mais on retrouve toujours les mêmes éléments constitutifs. Si donc on représente par autant de variables, fonctions de a?, les diverses fonctions simples qui correspondent aux opérations indiquées dans la fonction donnée, on aura une fonction composée d'un certain nombre de variables, fonctions de x; et la différentiation en sera ramenée, d'après le théorème précédent, à celle de chacune de ces fonctions, c'est-à-dire à la différentiation des fonctions simples elle-mêmes.

Quelques exemples éclairciront notre pensée.

(') J'appelle isolées des opérations qui peuvent s'effectuer indépendamment les unes des autres, et superposées celles qui se commandent entre elles, de telle sorte qu'on ne peut les effectuer que l'une après Vautre. Ainsi x'" logx indique des opérations isolées, parce que, si on connaissait la valeur de x, les quantités x* et logx

pourraient se calculer séparément. Au contraire, v^l -f- x"* représente des opérations superposées, parce qu'on ne peut calculer la racine ^ième qu'après avoir calculé x'«.

Soit en premier lieu une fonction à opérations isolées, dont un terme quelconque sera, par exemple,

Posons

le terme en question deviendra

La différentielle s'obtiendra : 1* en différentiant le terme successivement par rapport h u, v et z, considérées tour à tour comme variables indépendantes ; 2* en multipliant les dérivées ainsi obtenues par les différentielles de u, v et z, prises par rapport à x.

Or, d'une part, les variables n, v ei z n'entrant dans le terme ci-dessus que par des opérations simples, on saura obtenir les dérivées par rapport à ces variables ; d'autre part, chacune de ces variables ne représentant qu'une fonction simple de a?, on saura également en prendre la différentielle par rapport k x.

On obtiendra donc la différentielle cherchée.

Considérons en second lieu une fonction à opérations superposées, dont un terme sera, par exemple,

sino? (aloga?)"*-.

Posons

sina? = i^, alogx::^:^, v'"^=^z\

ce terme pourra s'écrire

uz.

De Freycinet. — Anal, infîn. 5

Les opérations relatives à w ne présenteront aucune particularité, puisqu'on se trouve dans le même cas que précédemment. En ce qui concerne z, on aura : 1* à prendre la dérivée du terme par rapport à cette variable, considérée comme indépendante, ce qui est encore Tapplication du cas précédent ; 2" à prendre la difTérentielle de z. Ici, la chose est nouvelle, car z n'est pas une fonction immédiate de ti, puisque z=^v"\v étant elle-même fonction de rr. Mais raisonnant par rapport à z, comme pour les fonctions à opérations isolées, on déduit dz =z mv"'-^ dv\ et tout consiste à trouver dv, ce qui est aisé, puisque v est une fonction immédiate de rr.

Théoriquement donc, on n'aura aucune difficulté à opérer la difTérentiation d'une fonction quelconque d'une seule variable indépendante.

Ainsi se trouve confirmée, à posteriori, la proposition que nous avons établie touchant l'existence d'une dérivée pour toute fonction continue. Nous voyons de plus que non seulement cette dérivée existe, mais encore qu'on sait l'obtenir sous une forme analytique. C'est là un pas nouveau, et très important; car il ne suffisait pas d'être assuré que le rapport de l'accroissement d'une fonction à l'accroissement de la variable converge vers une limite finie, il fallait démontrer aussi que cette limite est toujours exprimable au moyen des algorithmes connus, ce que rien, à priori, ne permettait d'affirmer ( ' ) .

Conséquences,

28. 1° La différentielle d'une somme de fonctions est égale à la somme des différentielles de ces fonctions.

(') On donne assez souvent une démonstration fort incomplète, et même vicieuse, de l'existence de la dérivée. On construit la courbe

C'est une application évidente du théorème général.

2^ La difiTérentielle d'un produit de plusieurs fonctions est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la différentielle de chaque fonction par le produit de toutes les autres. Ainsi on doit avoir :

d{uvz, . .) --=vz. . , du -i- ttz, . , dv -huv. . . dz-\-

En effet, pour obtenir la différentielle du produit uvz,,., il faut différentier ce produit successivement par rapport à w, V, i? . . . , comme si chacune de ces quantités était seule variable et toutes les autres constantes. La différentiation par rapport à w, par exemple, donne pour résultat vz,.. (quantité considérée comme constante), multipliée par la différentielle de w, c'est-à-dire vz... du. De même pour chacune des autres fonctions.

3* La différentielle d'un quotient s'obtient en formant le

représentée par l'équation y-~f{x), et après avoir remarqué que la dérivée exprime la valeur de la tangente trigonométrique de l'angle formé par la tangente à la courbe avec l'axe des x, on en conclut que, toute courbe ayant une tangente en un point quelconque, toute fonction a une dérivée pour une valeur quelconque de la variable.

Cette démonstration présente les défauts suivants :

!• On"a recours à une représentation géométrique, ce qui est propre à restreindre le point de vue général duquel il faut considérer les fonctions.

2* On affirme que toute courbe a une tangente, ce qui n'est pas plus évident que la conclusion même qu'on en veut tirer, à savoir que toute équation a une dérivée ; car si la courbe a une tangente, c'est précisément parce que son équation porte sur une fonction cori' tinue. C'est donc dans la continuité qu'il faut chercher la raison d'être de la tangente, et dès lors mieux vaut donner tout de suite la démonstration purement analytique que nous avons présentée d'après M. Duhamel.

3* De ce que la dérivée a une valeur déterminée, il ne s'ensuit pas qu'elle existe analytiquement, c'est-à-dire qu'elle soit susceptible d'être exprimée avec les algorithmes connus. Cela ne peut résulter que des considérations à posteriori que nous avons fait ressortir.

produit du dénominateur par la diflférentielle du numérateur, en en retranchant le produit du numérateur par la différentielle du dénominateur, et divisant par le carré du dénominateur. Ainsi :

, , w\ vdu — vdv

Car la différentielle de la fonction -> prise par rapport

à u, comme si v était constant, donne -du, La différent

tieUe par rapport à u, comme si u était constant, donne

ttf 5 dv. La somme de ces deux quantités, ou la diflféren-

tielle du quotient - par rapport à la variable indépen-

dante, a pour expression

1 , u , vdtt — udv -du ^dv ou =

4* La dérivée d'une fonction de fonction est égale au produit des dérivées de ces fonctions. Soit, par exemple, y:=zf(u),u:r=:f^(x); jç dis qu'ou aura

dy df do dy dy du

dx du dx dx du dx^

relation dans laquelle — représente la dérivée de y par

rapport à a?, t- ia dérivée de y, prise par rapport à u,

du comme si u était la variable indépendante, et j- la dérivée

de u par rapport à x.

En effet, d'une manière générale, nous avons

dy = §^du ou dy = ^^du,

et du représente la différentielle de t/, telle qu'elle résulte de la variation de x dans la fonction qu'elle représente ;

donc dw = 3- dx. Par suite, dx

dy du ,

d'où enfin la proposition énoncée.

On peut écrire également

dy dx

du du^ dx

ce qui signifie que la dérivée de y, prise par rapport à u^ comme si u était la variable indépendante, est égale au quotient des dérivées de 1/ et de i/, prises par rapport à la véritable variable indépendante x.

29. Ces diverses règles (*) permettent de trouver les dérivées d'une façon plus expéditive qu'en mettant en évidence toutes les variables auxiliaires auxquelles nous avons eu recours dans les exemples du n° 27. .

Si la fonction donnée comprend, je suppose, une somme de termes, ce qui est assez général, il est inutile de rem-

(M On est dans l'usage de donner des démonstrations directes pour les divers cas particuliers que nous venons de passer en revue, sans les rattacher au théorème général des fonctions composées, dont ils ne sont pourtant que des conséquences immédiates. Cette manière de procéder nous semble peu philosophique.

placer chacun d'eux par une variable spéciale pour effectuer la différentiation : il suffit de les diflférentier séparément et de faire la somme des résultats ainsi obtenus. Si Ton est ensuite en présence d'un terme tel que celui du n<> 27, soit

on sait que la diflFérentielle est égale, d'après la troisième conséquence, à

On développe les différentielles indiquées au moyen de la deuxième conséquence. Ainsi :

d[ax^\Qgx] '--logxd[ax^) -v- ax^d[\ogx] — {3ax*logx-{- ax*loge]dx.

Nous ne pousserons pas plus loin le calcul, qui n'offre aucune difficulté. Cet exemple suffit à montrer qu'avec une certaine habitude des procédés, on parvient à effectuer rapidement les différentiations de fonctions compliquées, sans même avoir besoin de recourir à des variables auxiliaires.