ii-h i

(') Voir notamment la Théorie des fonctions analytiques de Lagrange, le Traité élémentaire de la théorie des fonctions de Cournot, etc.

38 6ECaNDE PARTIE.

n étant Tordre de la dérivée qui figure dans le terme auquel on arrête la série, et 6 étant une quantité comprise entre o et 1.

La série de Taylor permet d'exprimer, sous une forme remarquable, Taccroissement Ay d'une fonction correspondant à l'accroissement Aa? de la. variable.

Car si l'on suppose, dans la formule précédente, que h est cet accroissement Ao?, et si l'on considère que Ay est égal à f(x-\- ^x] — f[x) , il vieiit

Al/ = r^x) ^x -f- r[x] ^ + nx) j^ + . . . .

Ainsi, la quantité désignée par a, au n° 19, est égale au développement f"(x) ^-^ -f- ["'(x) T-9-0 -+-

On peut donner une nouvelle forme à l'expression de Ay, en s'appuyant sur ce que, d'une manière générale, f^'^x) Aa;'* est égal à d'^y. Il en résulte la relation :

Par là nous avons la valeur de la différence en fonction des différentielles des divers ordres.

De la série de Taylor on déduit une autre série, également importante, dite série de Maclaurin. Pour l'obtenir, il suffit de remarquer que la série de Taylor doit subsister identiquement, lors même que h représenterait une quantité variable. Rien n'empêche donc d'établir le développement par rapport aux puissances de a?, au lieu de l'établir par rapport à celles de h. Si l'on suppose ensuite que h devienne nul, la série prend la forme suivante :

nx] = /-(o) -^xfio) + ^ r{o) + îf^rio) 4- . . . .

Les coefficients des puissances de x représentent les valeurs que prennent f[x]^ f[x]^f''[x], . . . , quand on fait dans ces diverses fonctions x — O.

Ainsi se trouve résolu le problème qui consiste à développer une fonction quelconque en une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable.