EXISTENCE DE LA LIMITE DE SOMME POUR TOUTES LES FONCTIONS CONTINUES

36. Les termes des sommes dont le Calcul intégral recherche les limites sont toujours supposés ramenés à la forme f(x) ^x.

En général, la mise en équations des problèmes ne fournit pas immédiatement des termes d'une forme aussi simple. Il faut une élaboration préliminaire pour les y réduire, élaboration distincte du Calcul intégral proprement dit, et qui rentre véritablement dans Tusage de

la Méthode infinitésimale, ainsi que nous le verrons plus tard (»).

Quoi qu'il en soit de la transformation préalable dont nous parlons, et des difficultés spéciales dont elle peut être entourée dans les diverses applications, nous admettrons toujours qu'elle a été régulièrement effectuée. Les procédés du Calcul intégral auront donc pour objet de faire connaître la valeur de la limite vers laquelle tend une suite de termes, tels que

f{x) ^X -+7 f(Xt) ^Xt -h f[Xz) AXa -h . . . -h f[Xn] Ax^,

en désignant par a?, x^, a?.,, . . . , Xn les diverses valeurs attribuées à a?, et par Aa?, Axj, Aj^a, . . . , Ax» les valeurs correspondantes des accroissements de x. Une telle somme est prise depuis une valeur déterminée, que nous avons désignée ici par Xy jusqu'à une autre valeur, désignée par Xn: I^e nombre des termes intermédiaires est d'autant plus grand que les accroissements Ax, AiPj, Aa?8, . . . sont plus petits. En même temps, la valeur individuelle de ces termes devient moindre, et la limite qu'il, s'agit de calculer est celle vers laquelle tend la sonMne lorsque les accroissements de la variable convergent indéfiniment vers zéro.

On représente ordinairement la somme ci-dessus par ^f[x] Ao?, et la limite de cette somme par lim2/*(a?) Aa?.

37. Ici se présente, comme pour le Calcul différentiel, une question préliminaire tout à fait capitale : La limite

(* ) C'est le même point de vue que pour le Calcul différentiel. Nous y avons supposé les rapports ramenés à la forme -^ — K sans nous préoccuper de la manière de les ramener effectivement à cette forme.

dont- nous parlons existe-1-elle ? La somme des termes f(x) Ad? 4- f{Xi) \xt -i- . . . converge-Welle toujours vers une valeur déterminée?

Nous allons démontrer qu'il en est ainsi pour toute fonction d'une variable x assujettie seulement aux conditions suin vantes : « 1** Que, lorsque l'on donne un accroissement hkx, » il en résulte un accroissement & dey qui tende vers » zéîo si l'on fait tendre h vers zéro ; 2° qu'à partir de toute. » valeur de x on en puisse prendre* une autre qui en diff&re: » d'une quantité finie déterminée, telle que si x varie dansi » le même sens, dans l'intervalle compris entre elles, y )' varie constamment dans un même sens, c'est-à-dire tou- )) jours en augmentant ou toujours en diminuant (*). »

De la première de ces deux conditions résulte., que la fonction ne passe pas par une valeur infinie quand x varie jusqu'à Xn- Si donc on désigne par A la plus grande valeur que puisse prendre la fonction entre les valeurs x et Xn de la variable, A sera nécessairement une quantité finie, et la somme ^f(x) ^x sera moindre que

A Ai; + AAj-j -+- A Aj^g -h ... -h A \Xn ,

ou moindre que k[Xn — x), quantité finie, indépendante de la grandeur individuelle des accroissements. Ainsi, nous voyons en premier lieu que la somme en question ne peut croître au delà de toute expression.

D'un autre côté, considérons une portion de cette somme correspondant à une série de valeurs de x pour lesquelles, en vertu de la seconde condition, la fonction reste de même signe dans l'intervalle, par exemple con-

( ' ) Ces conditions sont la reproduction textuelle de celles qui conviennent aux limites de rapport (17). Elles sont toujours laconséqueocâ directe de la continuité de la fonction.

stamment positive. Soit a la plus petite des valeurs positives de la fonction. Si x varie de la quantité finie h, la portion de somme dont il s'agit sera plus grande que ah\ et, comme elle n'est pas infinie, elle converge vers une certaine valeur positive. Pour une autre portion de la somme correspondant à des valeurs de x qui rendent la fonction constamment négative, la valeur convergera vers une certaine quantité négative ; et ainsi de suite. En sorte que la limite vers laquelle 'convergera la somme totale sera égale à la somme algébrique d'un certain nombre de quaur tités positives et négatives; ce qui représente bien une limite finie : car cette somme algébrique ne pourrait évidemment être nulle que dans un cas très particulier. La somme 2/*(aj) Ax ayant toujours une limite finie, on

représente cette limite par le signe particulier / , en haut

et en bas duquel on indique les valeurs extrêmes attribuées à la variable. Ainsi la limite de 2 f[x] Aa?, quand la somme est prise depuis a? jusqu'à a?«, est représentée par

Cette somme limite s'appelle intégrale {A.M xaoX latin înîegra]i parce qu'on la considère comme V entier dont f[x]^x est une partie infiniment petite.

Nous devons faire, au sujet de cette démonstration, une remarque semblable à celle du n° 17. Ce qui précède prouve bien que la somme ^f[x] Ao? a une limite finie, mais ne prouve nullement que cette limite soit exprimable analytiquement , et, à plus forte raison, qu'on sache la trouver. Pour justifier une pareille conclusion, il faudrait préalablement montrer, comme pour la diffé-

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rcntiation, qu'en soumettant à des procédés de calcul réguliers les termes /"(a:) Ax, on en déduit toujours une expression analytique qui satisfait à la condition d'être la limite vers laquelle converge la somme de ces termes. Or, malheureusement, comme nous le verrons plus tard, on est fort loin d'un semblable résultat.