THÉORÈME FONDAMENTAL SUR LES INTÉGRALES

38. Le calcul des intégrales est fondé sur cette proposition remarquable :

Si Von connaissait une fonction qui eût pour dérivée la fonction qui figure dans les termes de la somme dont on cherche la limite^ V accroissement que prendrait cette fonction, en attribuant à X les deux valeurs extrêmes qu*elle reçoit dans la somme, serait précisément égal à la limite cherchée.

Ainsi, je dis que si F(x) est une fonction telle que sa dérivée F' (a?) soit égale hf(x), qui figure dans les termes

de la sonmie lf(x) ^x, on aura

F(Xn)-F(x)=^y[x)^x.

Supposons en effet que dans la fonction F (a?) on donne à la variable les accroissements successifs Aa;, Aajj, Aa?3, . . . , Aa;„, correspondant respectivement aux valeurs x, x^, a?3, . . . , a?», de telle sorte qu'on ait

a-2 = a? 4- Ax , d!;3 = iTa H- AX2, . . . , ir„ = a;„-.i + Aor^-i ;

la fonction F(x) recevra des accroissements en conséquence, que je désigne par k^kt, kz, . . ,^ kn-

Nous savons d'une manière générale que Taccroissement d'une fonction est égal au produit de l'accroissement de la variable par la dérivée augmentée d'une quantité infiniment petite. On aura cette série de relations :

A; =[¥'{x) H- a ]lx, ki — [¥'(Xi) -h«2] Aj^â,

k3 = [¥'{X3) +a3]AX3,

kn-~[¥'[Xn)-^Oin]^Xn.

Or, d'après l'hypothèse faite en commençant, la fonction F(x ) a pour dérivée f(x). On peut donc substituer /"(x) à F' (a;) dans toutes ces relations, qui deviennent

ki = [f{Xi) -hai]^Xi, k:i = [f(xz] -4-a3]Aa:-3,

kn = [f['^n)-^^n]^X„,

.Si on les ajoute membre à membre, la somme des premiers membres représentera l'accroissement total de la fonction F{x) lorsqu'on passe de la valeur initiale x kla, valeur finale x^ -h Ax« : elle sera donc égale à F(a?,i h- ^Xn ) — F{x). Quant à la somme des seconds membres, elle se composera de deux parties : l'une, formée des termes

f(x) àx H- f(X2) Aj?2 -4- ... h- f(Xu) AX;, ,

est la somme même dont il s'agit de calculer la limite ; l'autre peut être désignée par 2a ^x, On a, en conséquence,

F(Xn H- ^Xn) — F(x) — 2 f(x) àx + 2a Aor.

De Freycinet. — Anal, infin, 7

• Si je fais décroître Ax indéfiniment, le premier membre aura pour limite F(.T;,) — F(x). Le premier terme du

f{x] \x; et je dis

que la limite de 2a Aa: est zéro. En effet, soit e la plus grande des quantités a, a,, a^, ...,ol„. La somme 2a Ao* sera moindre que celle qu'on obtiendrait en remplaçant partout a, (Xi, as, ... par e. Elle sera donc moindre que 6 A.T -h E ùkXt + £ ^x-i -^ ...-+- s \x„ , ou que eS Ax, ou enfin que t(x„ — x-\- Ax„). Or, la quantité entre parenthèses a pour limite Xn — x, grandeur finie , absolument indépendante de. la valeur des accroissements. Au contraire, £ converge vers zéro en môme temps que ces derniers. Cela résulte de ce que chacune des quantités a, aj, as, . . . , ol„ tend vers zéro lorsque l'accroissement correspondant de la variable diminue indéfiniment (19). En résumé, la somme 2a Ao? a pour limite zéro, et Ton déduit

¥{Xn)—F{x)^f "r{x)dx,

en écrivant dx au lieu de Ao?, ainsi qu'on l'a fait au n** 19,

pour la plus grande symétrie des formules. ' •