GÉOMÉTRIQUE

39. La recherche de la limite d'une somme est ainsi ramenée à la recherche d'une fonction qui ait pour dérivée la fonction qui figure dans les termes de la somme. La fonction une fois trouvée, il ne reste plus qu'à y substituer les deux valeurs extrêmes de a; et à prendre la différence. Cette dernière partie de l'opération est tout à fait secondaire, comme difficulté de calcul, à côté de la recherche môme de la fonction. Aussi est-ce à cette recherche qu'on peut restreindre le Calcul intégral proprement dit (*). On nomme fonction intégrale ou intégrale indéfinie^ ou plus simplement intégrale, la fonction qui a pour dérivée la fonction donnée. On nonune intégrale définie la diflférehce obtenue en substituant dans l'intégrale indéfinie les deux

( ' ) Les opérations complémentaires, consistant à remplacer la variable par les valeurs extrêmes et à prendre la différence, sont évidemment du ressort de TAlgèbre ordinaire, et n'ont rien de commun avec les procédés propres au Calcul infinitésimal.

valeurs extrêmes de la variable ; ces deux valeurs extrêmes s'appellent les limites de l'intégrale (*).

L'intégrale indéfinie n'a donc pas la signification en quelque sorte concrète de Tintégrale définie : elle ne représente pas une grandeur déterminée, comme est la limite d'une somme de termes. Elle n'exprime qu'une relation algébrique, qui consiste en ceci : que la fonction intégrale ait pour dérivée la fonction donnée. On désigne dans les

formules cette intégrale par le même symbole / que les

intégrales définies ; seulement il n'y a pas de valeurs extrêmes à indiquer. Ainsi la relation

F(^) ^Jf(x

dx

signifie simplement que l^[x) a pour dérivée [f]x ou pour différentielle f(x]dx.

Il suit de là que le signe de l'intégration indéfinie et celui de la différentiation se détruisent réciproquement;

si bien que d j f{x)dx ne signifie pas autre chose que

f(x]dx. Car prendre la différentielle de j f(x)dx ou de

F(a?), c'est prendre la quantité f{x) dx^ puisque, par hypothèse, F (a?) est la fonction qui sl f[x) pour dérivée ou

f[x]dx pour différentielle. De même / d¥[x] représente

exactement F(a?), car prendre l'intégrale de dY[x] ou de f[x) dx^ c'est prendre la fonction ¥[x] elle-même.

(*) 11 faut avoir bien soin de ne pas confondre l'acception donnée ici au mot limite avec celle que nous lui avons donnée jusqu'à présent. Les limites d'une intégrale sont les valeurs déterminées entre lesquelles est formée la somme qu'on se propose de calculer.

Le Calcul intégral nous apparaît donc comme réciproque du Calcul différentiel. C'est un résultat bien remarquable et qu'il était permis de ne pas entrevoir dès le début, car il n'est pas évident, à priori, que la limite d'une somme de termes de la forme f(x]dx est exprimée par la différence des valeurs de la fonction qui a /"(a?) pour dérivée.

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