L'intégrale définie / dx est susceptible d'une re

présentation géométrique.

Construisons la courbe AMB [fig. 2) qui a pour équation yz=zf[x]. Soit OC la valeur initiale x de la variable,

Fig. 2.

et soit OD sa valeur finale Xn- Je dis que l'intégrale définie sera représentée par la surface curviligne ABDC comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les ordonnées extrêmes AC, BD.

En effet, décomposons la surface en bandes telles que MM'PP'j au moyen d'ordonnées menées par les divers points de la base correspondant aux accroissements Aa?, AiPî, . . ., Aa?„i de la variable. Si l'on mène MH

i02 SECONDE PARTIE. — CALCUL INFINITESIMAL.

parallèle à OX, le rectangle MHPP' est égal à MP ou f(x)y multiplié par raccroissement PP'. La somme de tous les rectangles ainsi formés, qui a pour expression l,f(x)^x, converge vers la surface ABDG (M, à mesure que chacun des accroissements diminue indéfiniment (').

Les intégrales indéfinies ne sont évidemment pas susceptibles de la même interprétation, puisque rien, dans leur expression, ne limite la surface qu'elles devraient représenter. Toutefois, on peut les ramener aux intégrales définies, en imaginant que la valeur initiale de la variable est telle que la fonction intégrale est nulle pour cette valeur, et que la valeur finale garde l'expression indéterminée x. Dans cette hypothèse, et en désignant par Xo la valeur initiale, rintégrale définie / f(x)dx^ ou Ffa?) — F{a;o), se ré-

duit à F(a7), c'est-à-dire à l'intégrale indéfinie elle-même. Quant à la quantité a^o, elle peut fort bien être purement imaginaire, puisque l'équation F(aj) = o n'a pas nécessairement une racine réelle.

(M C'est la conséquence de ce que la somme des parties telles que MHM' converge vers zéro. Nous ne nous occupons pas ici d'établir rigoureusement ce dernier point, qui, du reste, semble assez évident de lui-même, parce que c'est un cas très particulier d'une proposition beaucoup plus générale que nous démontrerons plus loin.

(•) On s'appuie assez souvent sur cette représentation géométrique pour démontrer l'existence de l'intégrale de toute fonction d'une seule variable. Mais ce n'est point là une véritable démonstration ; car la construction même de la figure suppose implicitement que la fonction donnée satisfait aux conditions qui servent de base au raisonnement du n' 37. Que deviendrait, par exemple, la surface qui doit représenter l'intégrale, si la fonction et par suite l'ordonnée de la courbe pouvaient devenir infinies pour certaines valeurs de la variable? Nous avons donc à reproduire les mêmes objections qui nous ont fait repousser la démonstration analogue pour l'existence de la dérivée.