RECHERCHE DES INTÉGRALES : NATURE DU PRORLÈME

41. En résumé, la recherche des limites de somme se réduit à ce problème algébrique :

Étant donnée une fonction quelconque d'une seule variable^ trouver une autre fonction qui ait pour dérivée la fonction donnée.

On a sans doute remarqué déjà que le problème, posé en ces termes, est nécessairement indéterminé ; car lorsqu'on a trouvé une fonction qui satisfait à la condition que sa dérivée soit égale à la fonction donnée, il est bien évident que cette même fonction, augmentée d'une quantité constante quelconque, satisfera encore à la même condition, puisque la dérivée ne changera pas de valeur par suite de cette addition. C'est pourquoi on écrit dans les formules

f{x]dx^¥[x)-\-{^,

G désignant une constante arbitraire.

Cette constante disparaît toujours lorsqu'on fixe les limites de rintégrale, ou, en d'autres termes, lorsqu'il s'agit d'une intégrale définie; car la valeur de cette dernière résultant de la soustraction opérée entre deux valeurs particulières de l'intégrale indéfinie, la constante arbitraire disparaît dans la différence ainsi formée.

La fixation. d'une seule des deux limites sufîit même pour faire évanouir la constante, puisqu'on a encore à opérer une soustraction entre la valeur générale et la valeur particu-

lière de l'intégrale.

Il n'existe aucun procédé pour trouver directement une fonction intégrale, c'est-à-dire pour remonter, par une succession d'opérations régulières et assurées, d'une fonction donnée à une autre qui ait celle-là pour dérivée. On en est réduit à une sorte de recherche de Tables , qui consiste à voir quelle est, parmi les fonctions dont on a formé les dérivées dans le Calcul différentiel, celle qui a pour dérivée la fonction donnée. Sous ce rapport, on n'est pas plus avancé que si, le procédé régulier de la division étant inconnu, il fallait, pour obtenir le quotient d'un nombre par un autre, rechercher dans une table de Pythagore, sufiisamment étendue, le produit et le facteur donnés, pour en

déduire le quotient, qui serait l'autre facteur porté à la table.

Lorsque cette première investigation n'aboutit pas, — et c'est ce qui arrive ordinairement, — on a recours à des artifices plus ou moins compliqués, pour ramener la fonction donnée à une forme qui permette de discerner le lien avec des intégrales connues.