CHAPITRE XVIII

INTÉGRATION MÉDUTE. — PROPOSITIONS DIVERSES POUR FACILITER L'INTÉGRATION.

43. Quand on ne peut pas, malgré la connaissance à priori d'un certain nombre d'intégrales, discerner quelle est la fonction qui a pour dérivée la fonction donnée, il faut, avons-nous dit, recourir à des procédés plus ou moins indirects pour mettre en évidence la filiation. Ceux dont on fait usage sont très nombreux — ce qui, remarquons-le en passant, prouve leur insuffisance. — Nous nous bornerons à citer les principales règles suivies.

1** L'intégrale d'une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions.

Pour vérifier la relation

I \it-h v-h z -h . , .) dx ^=^ I iidx -h I V dx -\- I z dx -h , . ,^

il sufiit de prendre la différentielle des deux membres. On retrouve de part et d'autre la môme quantité. 2^ L'intégrale du produit d'une fonction par une con-

stante est égale au produit de la constante par l'intégrale de la fonction.

C'est le principe sur lequel nous nous sommes appuyés pour calculer les intégrales simples.

S** Intégration par parties, — On désigne sous ce nom le principe suivant :

Soient ueiv deux fonctions de x. Je dis qu'on a

I n dv =:î/r — / V du.

Il suffit encore, pour le vérifier, de diflférentier les deux membres de cette relation.

Par ce procédé on remplace, sous le signe d'intégration, la différentielle d'une fonction par celle d'une autre fonction. On conçoit les avantages qu'on en peut retirer. Il arrive, par exemple, que, tandis que udv a, une forme qu'on ne sait pas intégrer, le produit vdu^ qui est d'une forme toute différente, est susceptible d'intégration.

i"" Intégration par variables auxiliaires. — C'est un expédient analogue à celui qu'on emploie dans la diflférentiation. On désigne par des variables auxiliaires certaines combinaisons de la variable primitive, et l'on parvient ainsi à mettre en évidence des formes de fonctions qui rentrent dans les intégrales déjà connues.

Soit, par exemple, à calculer

Posons a-{-x^=^y, d'où dx=:dy. L'intégrale prend la forme

dy

or, on sait que sa valeur est égale à arc siny, et, par suite, à arc sin (a-f-a?).

5" Intégration par série, — Ce moyen, d'une application très générale, a pour but de donner par approximation les intégrales qu'on ne sait pas calculer exactement. On développe, d'après la série de Maclaurin, la fonction à intégrer, toutes les fois que la forme de cette fonction est telle (ou peut être rendue telle) que la série soit convergente. L'intégrale I f(x)dx est ainsi ramenée aux suivantes :

ff[o)dx -+-ff'[o) X dx -h ff"[o) -p

Ces intégrales n'offrent aucune difficulté, car les multiplicateurs /"(o), f^( o), f^[o] , . . . étant des quantités constantes, tout se réduit à intégrer une puissance quelconque de la variable.

Mais si ce procédé est d'un effet assuré, il n'en a pas moins deux inconvénients majeurs : le premier, d'être d'un emploi très laborieux ; le second, de ne fournir qu'une valeur approximative de l'intégrale, et, par suite, de ne pas en donner la véritable expression analytique. Ce dernier défaut peut être tout à fait capital dans certaines recherches, où ce qu'on a besoin de connaître c'est moins la valeur en quelque sorte arithmétique de l'intégrale que la forme de sa fonction.

L'intégration par série constitue une solution de même nature que celle que fournit en Algèbre la théorie connue sous le nom de résolution numérique des équations.

Nous n'insisterons pas davantage sur les divers procédés mis en œuvre pour le calcul des intégrales. Le nombre en est en quelque sorte indéfini, et l'on peut dire que chaque

géomètre a les siens propres, ou du moins emploie de préférence certains d'entre eux, mieux appropriés à la tournure de son esprit. C'est ainsi que le catalogue des intégrales s'enrichit de jour en jour, sans que la science générale fasse aucun progrès. Ce qui caractérise l'intégration, avec nos moyens actuels, c'est proprement d'être une opération par tâtonnements.