A PLUSIEURS VARIABLES

44. De même qu'on distingue les différentielles et les dérivées de divers ordres, nous devons distinguer également les intégrales de divers ordres.

On nomme intégrale du second ordre ou intégrale double (cette dernière expression a prévalu) la fonction qui a pour dérivée Tinjégrale du premier ordre ou l'intégrale simple.

L'intégrale triple est l'intégrale simple de l'intégrale double. D'une manière générale l'intégrale n'®™* est l'intégrale simple de l'intégrale n — 1 >*'»«.

Soient F(a7), Falo?), Fafo;), . . .les intégrales simple, double, triple, etc., de la fonction /'(.r). Les définitions qui pré-

cèdent s'expriment ainsi :

F IX) = / f\x] dx\

¥^[x] — ÇY[x]dx^ Çd ff{x]dx ou f fl(x)dx*-.

Y^ix) — fFi [x)dx^ jdx fdx ff[x ) dx on Ci ffix) dx' ;

On remarquera que dans cette notation nous regardons j dx j f[x]dx et / / f{x]dx^ comme parfaitement synonymes. En eflfet, la première intégration / f(x)dx, qui

fournit la valeur de F(a;), devant être effectuée sans se préoccuper du nouveau multiplicateur dx introduit par la deuxième intégration, on peut regarder ce multiplicateur comme constant par rapport à la première Intégration,

et, dès lors, le faire passer sous le signe / , ou le laisser

en dehors de ce signe, à volonté.

Il résulte encore des définitions adoptées, tant pour les intégrales que pour les différentielles, qu'on peut écrire

d¥{x) d^'Fiix) d^F^ix)

dx ' dx^ dx^

On peut écrire aussi, d'après la démonstration donnée au n^ 32,

nx)^ hm — — ' z= hm — T-r- = hm -

Aa? Aa;2 Ao?^

Les intégrales des divers ordres sont ou indéfinies, comme nous venons de le supposer, ou définies , c'est-à-dire

ayant chacune leurs limites inférieure et supérieure. Dans ce dernier cas. il est visible que l'intégrale double peut être figurée géométriquement par le volume d'un prisme droit, ayant pour base la surface curviligne qui représente rintégrale simple et pour hauteur la différence des limites de la seconde intégrale.

Quant aux intégrales supérieures, elles ne sont pas susceptibles d'une interprétation géométrique.

On distingue enfin les intégrales prises successivement par rapport à diverses variables, chacune de ces variables étant considérée à son tour comme seule variable pendant que les autres sont considérées comme des quantités constantes.

Ces intégrations sont l'objet d'un théorème semblable à celui qui termine le n° 34, à savoir :

Le résultat final de plusieurs intégrations successives reste le même, quel que soit l'ordre des intégrations.

Ainsi je dis qu'on a

idylf[X, y)dx— jdx j f[x, y)dy.

Soit ¥{x, y) la fonction résultant des intégrations indiquées au' premier membre, et ^(x, y) celle qui résulte des intégrations indiquées au second. Si je difî'érentie F[x,y) successivement par rapport k y et k x, je retombe sur la fonction donnée f{x, y), en sorte que j'ai

Si je difî'érentie ^[x, y) dans un ordre inverse, c'est-àdire, d'abord par rapport à x et ensuite par rapport à y, je retombe également sur f{x, y), et dès lors j'obtiens

ri \ ^'^

De Freycinet. — Anal, infin. 8

J'en conclus

dy dx dx dy

Or le résultat de deux différentiations successives n*est pas changé quel que soit l'ordre des différentiations ; donc

rf'F d^^

dy dx dy dx et par suite

Ce théorème s'étendrait facilement à un nombre quelconque d'intégrations.

La différentiation et l'intégration sont, comme nous avons dit, deux opérations inverses, qui se détruisent réciproquement. Il n'en est plus ainsi quand elles sont effectuées par rapport à des variables différentes. Dans ce cas chaque opération garde sa valeur, mais on peut intervertir l'ordre dans lequel elles doivent avoir lieu, c'est-àdire qu'on a

d ff(x.y]dx ^ rdfjx. y] ^^ dy J dy '

En efiPet, différentions les deux membres par rapport

à x: le second membre devient immédiatement ^ , ^ >

dy

puisque la différentiation et l'intégration, par rapport à la

même variable, se détruisent. Quant au premier membre,

on peut intervertir l'ordre des deux différentiations, et il

j . ^ (i d ffix, y]dx .,.. . ^j ..

devient -i — '^ ^ ^ '^ — ? quantité qui se réduit aussi

^ df(x. y]

dy

CALCUL INFINITÉSmAL. 115

Les intégrales définies sont également T objet de théorèmes intéressants. On démontre, par exemple, que la dérivée d'une intégrale définie, prise par rapport à Tune des deux limites (considérée comme une variable), s'obtient en substituant simplement la limite à la variable indépendante, dans la fonction qui figure sous le signe d'intégration, etc. Mais l'examen de ces diverses propositions nous entraînerait hors des bornes de cette étude.