DIFFÉRENTIELLES

45, Les procédés d'intégration indiqués ci-dessus supposent que l'équation qui assigne la valeur de la quantité inconnue est une équation explicite, de la forme dy ^zf[x) dx] en d'autres termes, la fonction à intégrer est censée être une fonction de x seulement.

Mais de môme que dans le Calcul différentiel nous avons été conduits à examiner des équations implicites ou non résolues par rapport à la variable dépendante, de la forme f[x^ y) = 0, de même, pour concevoir le Calcul intégral dans toute sa généralité, il faut envisager des équations dans lesquelles la différentielle dy ne puisse pas être dégagée ostensiblement, et où elle se trouve, au contraire, combinée d'une manière quelconque avec la variable indépendante et même avec la fonction qu'il s'agit de trouver. De sorte qu'on a à traiter des équations de la forme

La séparation de ce nouve;iu cas est môme bien plus marquée, relativement à Tintégration , que la séparation analogue pour la diflférentiation ( ' ) . « Dans le Calcul diffé- » rentiel, en effet, cette distinction ne repose, comme nous » Tavons vu, que sur Textrême imperfection de l'Analyse » ordinaire ('). Mais, au contraire, il est aisé de voir que, » quand même toutes les équations seraient résolues algé- » briquement, les équations, différentielles n*en constitue- » raient pas moins un cas d'intégration tout à fait dis- » tinct de celui que présentent les formules différentielles » explicites ; car, en se bornant, par exemple, au premier » ordre et à une fonction unique y d'une seule variable x^ » pour plus de simplicité, si Ton suppose résolue, par rap-

)• port à ~) une équation différentielle quelconque entre

r> Xf y ei-~-9 l'expression de la fonction dérivée se trou-

» vaut alors contenir généralement la fonction primitive ï» elle-même qui est l'objet de la recherche, la question » d'intégration n'aurait nullement changé de nature, et la » solution n'aurait réellement fait d'autre progrès que » d'avoir amené l'équation différentielle proposée à ne plus w être que du premier degré, relativement à la fonction » dérivée, ce qui est en soi de peu d'importance. La diffé- » rentielle n'en serait donc pas moins déterminée d'une » manière à peu près aussi implicite qu'auparavant, sous

(*) Le passage qui suit est emprunté à la Philosophie positive de M. Auguste Comte (t. P"", p. 206 et suiv.). Nous avons cru devoir reproduire in extenso des considérations auxquelles on suppléerait difficilement. >

(«) En effet, si l'on savait résoudre une équation quelconque, on ramènerait toutes les fonctions implicites à être explicites, et il serait, dès lors, inutile d'en faire la distinction pour la recherche des différentielles.

n le rapport de Tintégration, qui continuerait à présenter » essentiellement la même difficulté caractéristique. La » résolution algébrique des équations ne pourrait faire w rentrer le cas que nous considérons dans la simple n intégration des différentielles explicites, que dans les » occasions très particulières où l'équation différentielle » proposée ne contiendrait point la fonction primitive ^ elle-même, ce qui permettrait, par conséquent, en la

» résolvant, de trouver -^ en fonction de x seulement, et

» de réduire ainsi la question aux quadratures (intégrales » simples).

» La considération que je viens d'indiquer pour les » équations différentielles les plus simples aurait évidem- » ment encore plus d'importance pour celles des ordres » supérieurs, ou qui contiendraient simultanément diverses » fonctions de plusieurs variables indépendantes. Ainsi, « rintégration des différentielles qui ne sont déterminées » qu'implicitement constitue, par sa nature et sans aucun » égard à l'état de l'Algèbre, un cas entièrement distinct » de celui relatif aux différentielles explicitement expri- » mées en fonction des variables indépendantes. L'inté- » gration des équations différentielles est donc nécessai- » rement plus compliquée que celle des différentielles » explicites, par l'élaboration desquelles le Calcul intégral » a pris naissance, et dont ensuite on s'est efforcé de faire, » autant que possible, dépendre les autres. Tous les divers • procédés analytiques proposés jusqu'ici pour intégrer les » équations différentielles, soit la séparation des variables, » soit la méthode des multiplicateurs, etc., ont, en effet, » pour but de ramener ces intégrations à celle des forn mules différentielles, la seule qui, par sa nature, puisse

« être entreprise directement. Malheureusement, quelque n imparfaite que soit jusqu^ici cette base nécessaire de » tout le Calcul intégral, Tart d'y réduire l'intégration des « équations différentielles est encore bien moins avancé. » Ces réflexions nous dispensent d'insister davantage sur la théorie des équations différentielles. Le but de cet essai n'est pas, nous l'avons dit, d'exposer dogmatiquement l'Analyse infinitésimale, mais d'en faire ressortir l'esprit et la portée. Sous ce rapport, l'étude des équations différentielles n'ajouterait rien à ce que montrent le Calcul différentiel et le Calcul intégral, restreints aux limites que nous nous sommes assignées. C'est dans les opérations fondamentales de ces calculs, envisagées dans leur simplicité primitive, qu'on saisit le mieux:» le véritable esprit de la science elle-même. Aussi, quand nous traiterons de la Méthode infinitésimale, nous raisonnerons habituellement comme si les questions étaient ramenées au cas élémentaire de la recherche d'une dérivée ou d'une intégrale de fonction d'une seule variable.