DES VARIATIONS

46. Pour terminer cette exposition sommaire du Calcul infinitésimal, il convient de dire quelques mots du Calcul des variations, créé par Lagrange.

Cette nouvelle et importante branche des Mathématiques n'est pas, quoi qu'on en ait dit, un calcul hypertranscendant^ distinct des Calculs différentiel et intégral. C'est, comme le fait remarquer judicieusement M. Cournot (*), « une élégante application des principes du Calcul diffé- » rentiel aux fonctions renfermées sous un signe de qua- » drature (intégration). »

Le but de cette invention a été de fournir des procédés réguliers pour résoudre certaines questions de maximum et de minimum qui échappent au Calcul infinitésimal proprement dit.

Dans les questions ordinaires de maximum et de mi-

(' ) Traité élémentaire de la théorie des fonctions ( 1. 1", p. 9 ).

nimum, on se propose généralement de trouver la valeur de la variable qui fait prendre à la fonction une valeur plus grande ou plus petite que celle qui résulterait d'une fixation un peu différente de cette variable. Quant à la nature même de la fonction, elle est supposée connue, je veux dire par là qu'on sait de quelle manière la fonction est composée avec la variable. Le Calcul différentiel fournit immédiatement la solution, en montrant que la valeur cherchée de la variable est celle qui annule la dérivée de la fonction (21).

Mais on peut se proposer certaines questions pour lesquelles la fonction même est inconnue : lorsqu'on demande, par exemple, de trouver l'équation de la courbe dont la longueur comprise entre deux points donnés sur une surface est un minimum ; ou lorsqu'on demande quelle est la courbe que devrait suivre un mobile sollicité par la pesanteur pour parvenir d'un point à un autre dans le moindre temps possible ; ou encore lorsqu'on cherche la courbe fermée qui, sous une longueur donnée, circonscrit la plus grande surface, etc., etc. Dans ces questions et dans une foule d'autres du même genre, la ressource habituelle, du Calcul différentiel fait défaut, puisque, la fonction primitive elle-même étant inconnue, on n'en peut connaître la dérivée et par suite découvrir la valeur de la variable susceptible de l'annuler. Mais si l'on procède à la mise en équations, sans se préoccuper des difficultés ultérieures que nous venons de signaler, on est uniformément conduit, dans chaque cas, à une intégrale définie (*) qui porte sur la fonction qu'il s'agit de déterminer. Quant aux limites de l'intégrale, elles sont tantôt

( ' ) Celle qui exprime soit la longueur de la courbe, soit la durée de la descente du mobile, soit l'aire inscrite, etc.

CALCUL INPINITÉ8I1IAL. (23

connues directement (lorsqu'il est question, par exemple, d'une courbe qui doit être comprise entre deux points donnés), tantôt connues indirectement (conmie dans le dernier problème cité, où les limites résultent implicitement de ce que le périmètre a une longueur déterminée).

47. C'est à de semblables recherches que s'applique le Calcul des variations.

Pour en faire comprendre Tesprit, reprenons une des questions précédentes, où la fonction inconnue représente Tordonnée d'une certaine courbe dont la longueur doit être un minimum.

Si le problème était résolu, il est visible qu'en modifiant la fonction d'une manière quelconque, on obtiendrait une autre courbe, distincte de la courbe de solution, et dont la longueur serait forcément plus grande, puisque, par hypothèse, la première est un minimum. La manifestation de ce minimum est donc que la différence entre la longueur de la courbe, déduite de l'équation modifiée, et la longueur déduite de l'équation primitive, est constamment positive, quelles que soient la nature et Timportance de la modification opérée. Telle est la condition qu'il faut exprimer algébriquement.

Pour y parvenir, remarquons que la modification pouvant être produite d'une manière absolument quelconque, rien n'empêche d'adopter un mode uniforme, consistant, par exemple, à faire varier un des paramètres de la fonction. Ainsi, dans l'équation d'une ellipse, on pourrait faire varier l'un des axes ou l'excentricité; dans celle d'une parabole, la distance focale, etc., etc.

Dès lors, pour une même .valeur de la variable indépendante, la fonction prendra des accroissements en rap-

port avec les accroissements du paramètre; tout comme si ce paramètre constituait la variable indépendante, et que les autres quantités fussent les constantes.

La portion principale de Taccroissement de la fonction (correspondant à la différentielle dans le cas ordinaire) se nomme la variation de la fonction, et s'obtient par une différentiation, effectuée d'après les procédés usuels, mais par rapport au paramètre ainsi choisi.

Gomme nous verrons bientôt (49) que le signe de l'accroissement est déterminé par celui *de la variation, nous sommes amenés à calculer la valeur de la variation de l'intégrale définie, quand on suppose que la fonction inconnue, qui figure dans son expression, subit elle-même une certaine variation correspondant à une modification donnée.

C'est un problème de même nature, quoique incomparablement plus difîicile, que celui-ci, qu'on résout dans le Calcul différentiel : Étant supposée connue la différentielle d'une fonction^ trouver la différentielle d'une fonction de cette fonction,

48. La détermination de la variation de l'intégrale définie s'effectue par des procédés réguliers qui constituent la partie fondamentale du Calcul des variations, et dont la possibilité théorique ne soulève évidemment aucune objection. Quant au détail môme des calculs, les limites de ce travail ne nous permettent pas de nous y arrêter, et nous sommes obligé de renvoyer aux Traités spéciaux sur la matière. Nous nous bornerons à retracer succinctement les principales règles sur lesquelles on s'appuie.

1° On peut intervertir l'ordre de la différentiation et de la variation.

CALCUL INFINITESIMAL. i^h

Ainsi, je dis qu'on a

ô étant la caractéristique de la variation, et y représentant une fonction quelconque.

En effet, la variation n'étant qu'une différentiation prise par rapport à une quantité autre que la variable indépendante, on a lé droit d'intervertir Tordre des deux dififérentiations successives.

2» On peut intervertir l'ordre de r Intégration et de la variation.

En d'autres termes, on a

jydx^joiydx).

C'est toujours la conséquence de ce que la variation représente une différentiation étrangère à la variable indépendante. Rien n'empêche, on le sait, d'intervertir l'ordre d'une différentiation et d'une intégration relatives à des variables différentes.

3* Les propositions concernant la différentiation (28) •peuvent ûtre reproduites, d'une manière analogue, pour la variation.

Ainsi, la variation d'une somme de termes est égale à la somme des variations de chaque terme; la variation d'un produit est égale à la somme des quantités obtenues en multipliant successivement la variation de chaque terme par le produit de tous les autres, etc., etc.

4** Toujours par analogie avec ce qui a lieu dans la.différentiation, on distingue des variations de divers ordres, savoir : . '

La variation première, ou simplement la variation, qui,

comme nous Tavons déjà dit, est la portion de l'accroissement de la fonction qui correspond à la diflférentielle :

La variation seconde^ qui est la variation de la variation première;

Et en général la variation n**"«, qui est la variation de la variation n'*"« — 1 .

Ces variations sont représentées dans les formules par les caractéristiques §, §*, 8', . . . , S'*.

D'après ces notations, en désignant par y une fonction quelconque et par Dy l'accroissement obtenu par voie de variation, la valeur de cet accroissement pourra être exprimée de la manière suivante :

Dy = ay + -j^ 5* 2/ -H ^"273 5' !/ + . . . .

C'est la forme du développement que nous avons trouvée au n** 35. Nous pouvons l'employer ici, puisque la variation n'est qu'une différentiation prise par rapport à une certaine variable.

49. Revenons actuellement au problème de minimum considéré tout à l'heure, et supposons que, par les procédés usités, on soit parvenu à déterminer l'expression de la variation de l'intégrale définie qui représente la longueur de la courbe. Je dis que, pour exprimer la loi du minimum, il faut égaler à zéro la valeur de la variation. En effet, l'accroissement obtenu, en faisant varier la fonction de laquelle dépend la nature de la courbe, doit être constamment positif. Or, cet accroissement pouvant être mis sous la forme de la série ci-dessus, et la grandeur des termes pouvant être diminuée au point que le signe de l'accroissement soit déterminé par celui de la variation du premier

ordre, il est nécessaire que cette variation soit nulle. La condition ainsi exprimée, portant précisément sur la fonction inconnue elle-même, permet de déduire cette dernière et, par suite, d'établir l'équation de la courbe cherchée.

Ces considérations nous paraissent montrer suf&sanunent que si le Calcul de Lagrange constitue une innovation capitale, au point de vue des opérations algébriques destinées à fournir là solution des problèmes, il ne modifie en rien l'esprit même du Calcul infinitésimal proprement dit.