REMARQUE SUR LE CALCUL AUX DIFFÉRENCES FINIES

50. Nous devons signaler, mais seulement pour mémoire, deux branches de calcul qu'on comprend assez ordinairement dans l'Analyse infinitésimale, bien qu'elles appartiennent en réalité à l'Analyse algébrique. Je veux parler du Calcul direct et du Calcul inverse aux différences finies, créés par le géomètre anglais Taylor. Si nous les mentionnons ici; c'est uniquement pour prémunir contre la fausse idée qu'on pourrait se former sur leur conception fondamentale.

Le Calcul direct aux différences finies a pour objet essentiel de déterminer les valeurs des accroissements des fonctions correspondant à des accroissements [mis des variables. Il se distingue radicalement du Calcul différentiel en ce que, les accroissements n'y étant pas supposés infiniment petits, le rapport de la différence de la fonction à la différence de la variable n'y peut jamais recevoir

De Freycinet.— Anaî. tn/in. 9

cette grande simplification qui résulte de l'hypothèse de Aa? = dans la fonction obtenue pour exprimer le rapport -r^- Ainsi, le Calcul aux différences finies perd préci-

sèment le caractère propre à l'analyse transcendante (*).

Le Calcul inverse ou Calcul intégral aux différences finies consiste, comme son nom l'indique, à déterminer réciproquement une fonction quand on connaît sa différence finie, ou lorsqu'on a une relation entre cette fonction, la variable dont elle dépend et quelques-unes de ses différences.

Le véritable objet du Calcul aux différences est la théorie générale des suites ou successions de quantités numériques se déduisant les unes des autres d'après une loi donnée. Les sommations de ces suites, ainsi que les formules d'interpolation, en sont des applications importantes.

( * ) « (^e qui fait le caractère propre de l'analyse de Leibnitz et la » constitue en un caractère vraiment distinct et supérieur, c'est que » les fonctions dérivées sont, en général, d'une tout autre nature » que les fonctions primitives, en sorte qu'elles peuvent donner lieu » à des relations plus simples et d'une formation plus facile : d'où » résultent les admirables propriétés fondamentales de l'Analyse » transcendante, expliquées dans les leçons précédentes. Mais il » n'en est nullement ainsi pour les différences considérées par » Taylor; car ces différences sont, par leur nature, des fonctions f) semblables à celles qui les ont engendrées, ce qui les rend im- » propres à faciliter l'établissement des équations, et ne leur permet » pas davantage de conduire à des relations plus générales. »

(Auguste Comte, Philosophie positive, t. I", p. 237.)