INFINIMENT PETITS DE DIVERS ORDRES

51. Dans une même question d'Analyse infinitésimale, on est fréquemment conduit à employer, à la fois, plusieurs quantités infiniment petites. Quand on cherche, par exemple, la tangente à une courbe, on considère simultanément l'accroissement de l'abscisse et l'accroissement de l'ordonnée, qui sont l'un et l'autre infiniment petits. De même, l'arc, la corde et l'accroissement de l'ordonnée d'une courbe, qui correspondent à un accroissement de l'abscisse, sont autant de quantités infiniment petites.

Dans les cas que nous venons de citer, les infiniment petits envisagés sont tous dépendants les uns des autres. C'est ce qui a lieu forcément lorsque la question ne comporte qu'une seule variable indépendante : cette variable venant à recevoir un accroissement infiniment petit, les accroissements des autres variables sont déterminés par le premier, en sorte que tous ces infiniment petits dépendent effectivement les uns des autres. Dès lors on peut concevoir que leur valeur soit rapportée à celle de l'un d'eux choisi

comme terme de comparaison, et qu'on appelle pour ce motif infiniment j^eXii principal (*).

Quand la question comporte plusieurs variables indépendantes, les accroissements de ces variables peuvent avoir simultanément des valeurs arbitraires, et il en résulte autant d'infiniment petits indépendants ou principaux. Mais comme rien n'empêche de supposer une relation quelconque entre eux, d'admettre, par exemple, qu'on augmente toutes les variables de quantités égales ou proportionnelles, on se retrouve, si Ton veut, dans le même cas que lorsqu'il existe un seul infiniment petit principal. Le plus souvent on ne fait aucune hypothèse particulière sur les valeurs relatives des divers infiniment petits indépendants : on se borne à admettre tacitement qu'ils appartiennent au même ordre de grandeur, expression dont nous verrons tout à l'heure la signification.

Si nous comparons avec l'infiniment petit principal tous les autres infiniment petits qui figurent dans le même problème, nous reconnaîtrons que les rapports tantôt con- ,. vergent vers des limites finies, tantôt convergent vers zéro. C'est ainsi que le rapport de l'accroissement de l'ordonnée d'une courbe à] l'accroissement de l'abscisse tend vers une limite finie, qui est la valeur de la tangente trigonométrique de l'angle formé par la tangente à la courbe avec l'axe des abscisses. De même les accroissements des ordonnées de la courbe et de la tangente sont dans un rapport qui a pour limite l'unité; tandis que la partie de l'ordonnée

(M Comme on prend ordinairement pour infiniment petit principal Taccroissement de la variable indépendante, le terme d'infiniment petit indépendant serait mieux approprié , en ce qu'il rappellerait que la grandeur est arbitraire et que celle des autres infiniment petits en dépend nécessairement. Toutefois, la dénomination de principal ayant prévalu, nous l'avons adoptée nous-méme.

interceptée entre la courbe et la tangente, comparée avec Taccroissement de l'ordonnée, soit de la courbe, soit de la tangente, fournit un rapport dont la limite est zéro.

On conçoit, du reste, d'une manière générale, que, « "désignant un infiniment petit quelconque, pris pour terme de comparaison, les quantités Ma, M«*, Ma», ... (M étant une quantité finie, fixe ou variable) sont aussi infiniment petites, puisqu'elles ont toutes pour limite zéro; mais leurs rapports avec l'infiniment petit principal a tendent vers des limites différentes. Le rapport de Ma à a est représenté par M, qui, par hypothèse, a une valeur finie; celui de Ma* à a a pour limite zéro, puisqu'il est égal à Ma; à plus forte raison en est-il ainsi des rapports de Ma», Ma*,.... Tous les infiniment petits supérieurs à Ma, comparés avec l'infiniment petit principal, fournissent des quotients qui convergent vers zéro, mais qui n'y convergent pas de la même manière, puisque l'un y arrive par l'expression Ma, l'autre par l'expression Ma», .... Nous sommes dès lors conduits à distinguer non seulement entre les infiniment petits dont les rapports avec" le principal tendent vers des limites finies et ceux dont les rapports tendent vers zéro, [mais encore, parmi ces derniers, ceux qui arrivent à zéro par diverses puissances de a. Cette nouvelle distinction est très logique; car deux infiniment petits, tels que Ma» et Na» ne sont pas dans les mômes relations que Ma» et Ma», puisque les deux premiers, tout en ayant avec l'infiniment petit principal des rapports Ma et Na, qui tendent vers zéro, sont entre eux

dans un rapport fini ^, tandis que le quotient de M a»

par Ma» est un infiniment petit a. De là, diverses catégories d'infiniment petits, établies

relativement à celui qu'on adopte pour terme de comparaison.

52. On nomme infiniment petit du premier ordre celui dont le rapport avec l'infiniment petit principal converge vers une limite finie {*),

Ainsi, a désignant Tinfiniment petit principal, tout autre infiniment petit ê sera dit du premier ordre, si l'on a

lim- = M,

M étant une quantité finie.

On en déduit

étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que «, ou qui est infiniment petite par rapport à M.

De là résulte que

(*) On remarquera que nous disons converge vers une limite finie, et non a une valeur finie; parce que généralement le rapport de deux infiniment petits varie à mesure qu'ils .décroissent, au lieu d'être indépendant de la grandeur absolue qu'on leur attribuerait à un moment donné. Ainsi le rapport d'un arc de cercle à sa corde tend vers l'unité, mais ce rapport n'a pas la même valeur selon que l'arc est supposé deux fois plus grand ou deux fois plus petit. Ce qu'il y a lieu de considérer, c'est donc la limite vers laquelle converge le rapport des infiniment petits, à mesure qu'o» les ramène vers zéro. On rencontre quelques cas où le rapport des infiniment petits est indépendant de leur grandeur absolue : tel est, dans un cercle, le rapport de l'arc avec l'angle au centre correspondant. Mais ces exceptions n'infirment point la convenance de la définition générale que nous avons adoptée, puisqu'en ces cas particuliers la limite du rapport des infiniment petits se trouve simplement atteinte dès l'origine.

sera Texpression d'un infiniment petit quelconque du premier ordre. Tous ceux du même ordre ne différeront que par la valeur de M.

On nomme infiniment petit du second ordre celui dont le rapport avec Tinfiniment petit principal a pour limite un infiniment petit du premier ordre,'; c'est-à-dire que, y étant du second ordre, on doit avoir

lim- = aM,

M étant une quantité finie; d'où

5 désignant, comme précédenunent, une quantité infiniment petite par rapport à M.

D'après cela>

Y=za«(M-ha)

sera Texpression d'un infiniment petit quelconque du second ordre.

D'une manière générale, l'infiniment petit du n^ème ordre est celui dont le rapport avec l'infiniment petit' principal est de l'ordre n — 1, et son expression est

53. Un remarquable exemple d'infiniment petits de divers ordres est fourni par le tableau des dérivées successives d'une fonction. La dérivée de l'ordre n est égale à

la limite du rapport -^-^- Les quantités Aa?'*, A'* y sont des

infiniment petits de l'ordre n. Aussi peut-on dire qu'une dérivée quelconque implique

138 TROISI-ÉME PARTIE. — MÉTHODE INFINITÉSIMALE.

la considération d'infiniment petits du même ordre que l'ordre de la dérivée.

Une particularité qui paraît assez surprenante au premier abord, c'est que les différences successives des accroissements conduisent à des infiniment petits d'ordres de plus en plus élevés. On ne voit pas immédiatement pourquoi, par exemple, la différence seconde ou A* y est un infiniment petit du second ordre; car cette quantité résulte de la différence prise entre deux différences premières Aï/ et Aï/,, qui sont des infiniment petits du premier ordre. Or, la différence de deux quantités est en général de la même catégorie de grandeur que ces quantités. Il semble donc que A* y devrait être du même ordre que Ay.

Cette difficulté disparaît si l'on remarque que les quantités dont on prend ici la différence ne sont pas des quantités indépendantes l'une de l'autre, mais assujetties, au contraire, à cette loi de génération d'être les accroissements d'une même fonction correspondant à des valeurs infiniment voisines de la variable. L'accroissement d'une fonction étant sensiblement égal au produit de la dérivée par Taccroissement de la variable, les accroissements dont il s'agit ne diffèrent entre eux que d'une quantité égale au produit de l'accroissement de la variable par la différence des valeurs de la dérivée correspondant aux valeurs infiniment voisines de la variable. Or, la différence des dérivées est infiniment petite : celle qui existe entre les accroissements est donc un infiniment petit du second ordre.

C'est la même observation qui se présente pour la différentielle et l'accroissement d'une fonction. Ces deux quantités sont des infiniment petits du premier ordre; mais leur différence est du second.