PETITS
Première Proposition.
54. Deux quantités fixes, entre lesquelles on suppose quHl n'existe qu'une différence infiniment petite, n'ont réellement pas de différence et sont rigoureusement égales.
Puisque ces quantités sont fixes, leur différence ne peut \ être elle-même qu'une quantité fixe et déterminée, et ne ; saurait dès lors être égale à une quantité infiniment petite, î qui, de sa nature, est éminemment variable. Il faut en con- : dure que l'inégalité supposée n'est qu'apparente, et que Tinfiniment petit, qui est censé la représenter, figure abusivement dans la formule, où il s'est introduit par suite de quelque erreur de calcul passée inaperçue. Si donc on est bien assuré que la différence entre les quantités fixes ne peut être autre chose que cet infiniment petit, on est assuré, du même coup, que cette différence n'existe pas. Par conséquent, on a non seulement le droit, mais le devoir de
supprimer rinfiniment petit dans les relations, afin d'y rétablir la réalité des choses.
On se fait souvent de ce théorème une idée très fausse qui tient à l'énoncé sous lequel on le présente. On dit simplement que deux quantités dont la différence est infiniment petite sont égales; et le souvenir qu'on garde de cette Proposition, c'est que la différence est comme négligeable par rapport aux quantités elles-mêmes. On y voit une sorte d'approximation, suffisante et au delà pour nos besoins, plutôt qu'une vérité absolue. C'est pourtant à ce dernier point de vue qu'on doit l'envisager, puisque la différence supposée n'est ni extrêmement petite ni infiniment petite, mais bien rigoureusement nulle, ou pour mieux dire n'existe que dans de fausses apparences qu'il faut s'appliquer à dissiper.
Deuxième Proposition.
55. Deux quantités finies variables, qui ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite, convergent vers la même limite.
Car les deux variables peuvent être rapprochées de leurs limites au point de n'en différer respectivement que d'une quantité infiniment petite: et, comme la différence des deux variables, amenées à ce point-là, est supposée toujours infiniment petite, la différence des deux limites, qui ne pourrait surpasser la différence des variables augmentée des différences de ces variables avec leurs limites, serait ellemême infiniment petite. Or, les limites étant des quantités fixes, et leur différence étant infiniment petite, elles sont rigoureusement égales , en vertu de la Proposition précédente.
On peut dire aussi que le rapport des deux variables entre elles tend vers Tunité à mesure que ces variables convergent vers leurs limites.
Conséquences.
Si deux infiniment petits du premier ordre ne diffèrent que d^un infiniment petit d^ordre supérieur^ leurs rapports avec Vinfiniment petit principal convergent vers la m^me limite.
En effet, d'après la définition même des infiniment petits de divers ordres, les rapports dont il s*agit représentent des quantités variables tendant vers des limites finies; et, d'autre part, le rapport de Tinfiniment petit d'ordre supérieur, qui représente leur différence, à Tinfiniment petit principal, est lui-même infiniment petit. Nous rentrons ainsi dans le cas de la Proposition précédente, de deux ^s^ariables finies qui ont une différence infiniment petite.
Ce que nous disons des rapports avec Tinfiniment petit principal s'applique aussi bien aux rapports avec un infiniment petit quelconque du même ordre; car ces derniers rapports convergent également vers des limites finies.
La même conséquence peut s'étendre à deux infiniment petits d'ordre quelconque, qui ne différeraient que d'un infiniment petit d'ordre supérieur, et dont on prendrait le rapport avec un troisième infiniment petit du même ordre.
On peut énoncer ces conséquences autrement, en disant que le rapport de deux infiniment petits, dont la différence est d'un ordre supérieur, a pour limite l'unité.
De ce qui précède résulte encore ceci :
Toutes les fois qu'on se propose de passer aux limites de deux variables finies, ou aux limites des rapports d'infiniment petits d'un même ordre, on a toujours le droit de sup-
primer rinflniment petit d'ordre supérieur qui représente la différence, parce que son influence disparaît nécessairement quand on passe aux limites des variables ou des rapports. En un mot, bien que les variables ou les rapports aient entre eux des différences certaines, on peut toujours agir comme si l'égalité parfaite avait lieu ; à la condition, je le répète, qu'on se propose de passer aux limites de ces quantités et qu'on y passera effectivement plus tard. Le passage aux limites a pour résultat de rendre rigoureusement exactes des relations qui provisoirement ne Tétaient pas par suite de la suppression anticipée d'infiniment petits d'un ordre supérieur.
Troisième Proposition.
56. Si deux sommes d'infiniment petits d'un certain ordre convergent chacune vers une limite firtie^ et si elles sont telles que les infiniment petits de l'une ne diffèrent respectivement des infiniment petits de l'autre que par des quantités infiniment petites d* ordre supérieur^ les limites de ces deux sommes sont nécessairement égales.
Puisque les infiniment petits des deux sommes ne diffèrent, chacun de chacun, que par un infiniment petit d'ordre supérieur, leurs rapports tendent vers l'unité. Or, on sait, d'une manière générale, que si l'on prend une suite de rapports dont les numérateurs et les dénominateurs soient tous positifs, la somme des numérateurs, divisée par la somme des dénominateurs, fournit une fraction dont la valeur tombe entre le plus petit et le plus grand des rapports donnés (*).
(') Il est très facile de s'en rendre compte. Soient les fractions
CL c e m
h^ d^ V ••*' ""' ^"® ^*® suppose rangées par ordre de grandeur :
^<^<p< <^7r' ^^ prends d'abord les deux premières, et je dis
Dans le cas qui nous occupe, chacun des rapports converge vers l'unité : le rapport des sommes doit y converger aussi. Ces sommes ont donc la même limite.
Conséquence.
Dans les calculs où se présenteraient effectivement des sommes telles que nous venons de les supposer, on pourrait supprimer immédiatement les infiniment petits de l'ordre \ supérieur, à la condition, bien entendu, qu'on se propose / de passer aux limites de ces sommes ; car, comme tout à l'heure, l'erreur qu'on introduit dans les équations en faisant disparaître ces sortes d'éléments cesse d'avoir aucune influence quand on passe aux limites elles-mêmes.
que . . . sera plus grand que -r et moindre que ^« En effet, soit un autre rapport -j égal à ^; il est évident que -, -7 sera égal à^--
C Cl c'
Puisque -7 surpasse r» et par suite -j » il faut que c soit plus grand
que c\ Donc j- j est plus grand que -. -j > et par conséquent plus
grand que j-* On verrait de la même manière qu'en ajoutant rà ^ on forme un rapport moindre que -j* La proposition étant ainsi établie pour deux fractions, on Tétend sans peine à une troisième y
Car soit ^ un autre rapport égal à r — -j- Il est clair que ^ ^ j
sera encore égal à . , • Mais puisque ^ est, par hypothèse, plus
c CL I C P
grand Que ^1 qui est plus grand que . . ■ il s'ensuit que -^ est plus
J a-\- c e' ^ »i.jvi a-h c-he
grand que , . . ou que y Donc e surpasse e , et dès lors r — ^ — j
surpasse . . ^ ou , . • A plus forte raison ce rapport sur-
Cl Q
passe-t-il r'On verrait de même qu'il est moindre que y; et ainsi de suite pour un nombre quelconque de fractions.
i44 TROISIÈME PARTIE. — MÉTHODE INFINITÉSIMALE.
Quatrième Proposition.
57. Dans toutes les questions où l'on cherche la limite d'un rapport ou la limite d'une somme d'infiniment petits, on peut, sans altérer la valeur des limites, remplacer chaque infiniment petit par un autre qui n'en diffère que par un infiniment petit d'ordre supérieur, ou dont le rapport avec le précédent converge vers l'unité.
Cet important théorème, qu'on peut nommer Principe de la substitution des quantités infinitésimales, est une conséquence directe des deux propositions que nous venons d'établir. Nous savons en effet que des infiniment petits qui diffèrent seulement par un infiniment petit d'ordre supérieur donnent lieu à des rapports ou à des sonmies qui convergent vers les mêmes limites. En faisant la substitution dont il s'agit, on ne change pas la valeur des limites cherchées.
Conséquences.
Toutes les fois que, dans une équation, figure un rapport ou une somme d'infiniment petits, et qu'on se propose d'en prendre la limite ultérieurement, on peut, sans attendre jusqu'à ce moment, opérer immédiatement les substitutions ; car l'erreur ainsi commise sera passagère et perdra son influence lorsqu'on passera aux limites elles-mêmes.
La valeur d'une fonction dérivée ou d'une fonction intégrale n'est pas changée quand on fait subir aux infiniment petits qui entrent dans leur expression les modifications susindiquées, puisque ces fonctions représentent précisément les valeurs des limites de rapports ou des limites de sommes de ces infiniment petits.
