SIMPLIFICATION DES ÉQUATIONS INFINITÉSIMALES

58. Les propositions précédentes servent de base à la Méthode infinitésimale et fournissent un moyen assuré d'opérer la simplification des équations.

Deux cas sont à considérer, selon qu'en faisant décroître rinfiniment petit principal les membres des équations dernières convergent vers des limites finies, ou selon qu'ils tendent à s'annuler simultanément.

Dans le premier cas, on peut, d'après la deuxième Proposition (55), altérer chacun des membres de quantités infiniment petites ; car cette altération ne change pas les limites qui, par hypothèse, ont des valeurs finies. On peut donc, dans de telles équations, supprimer les termes infiniment petits, s'il en existe, ou en introduire de nouveaux, ou les remplacer par d'autres entièrement arbitraires.

La limite d'un membre d'équation étant égale à la somme des limites de ses divers termes, ce que nous venons de dire pour l'équation prise en bloc s'applique aussi à chaque terme isolé. Ainsi les divers termes qui ont des limites

De Freycinet. — Anal, infîn, \

finies peuvent être individuellement altérés de quantités infiniment petites, d'une manière tout à fait arbitraire. On peut notamment, si ces termes se présentent sous forme de limites de rapports, en altérer séparément le numérateur et le dénominateur de quantités infiniment petites relativement à eux-mêmes : puisque,. d'après' la quatrième Proposition (57), la valeur de la limite n'est pas changée. Des altérations analogues sont permises, d'après la même Proposition, si les termes affectent la forme de limites de sommes.

Cette faculté permet, en certaines circonstances, de se débarrasser, par deis suppressions pures et simples ou par des substitutions convenablement ménagées, d'une multitude de termes qui compliquent inutilement les équations finales, en entravent le calcul et masquent les véritables relations qu'elles expriment.

Si, au contraire, les membres d'une équation tendent à s'annuler avec l'infiniment petit principal, c'est que leurs divers termes sont tous infiniment petits. Dans ce cas, on peut supprimer immédiatement les infiniment petits autres que ceux dont l'ordre est le moins élevé. En effet, une équation dont les deux membres ont pour limite zéro n'est pas destinée à rester sous cette forme, car elle fournirait l'identité insignifiante = 0. Mais elle doit réellement conduire à des quantités finies, soit en divisant tous les termes par un môme infiniment petit, soit en faisant la somme d'une infinité d'équations analogues. Si, par exemple, l'ordre le moins élevé est le premier, il est clair qu'en divisant par un infiniment petit de cet ordre, les termes du premier ordre fourniront des rapports finis, et tous les autres des rapports infiniment petits, lesquels, d'après ce qui précède, pourront être négligés. Si l'ordre le moins élevé était le second, on diviserait par un infiniment petit

du second ordre, et tous les termes de degrés supérieurs donneraient des quantités infiniment petites. Ainsi, d'une manière générale, on peut supprimer dans Téquation proposée tous les infiniment petits autres que ceux de Tordre le moins élevé; ou, ce qui revient au même, altérer ceux-ci d'une quantité infiniment petite par rapport à eux-mêmes. En vertu de ce principe, si Ton avait, je suppose, à remplacer un infiniment petit par un autre dont la valeur serait donnée par une série de termes de divers ordres, on se contenterait d'écrire ceux de l'ordre le moins élevé (*).

Les considérations qui précèdent visent les équations finales ou dernières, c'est-à-dire celles pour lesquelles il ne reste plus qu'à passer aux limites des quantités variables qu'elles renferment. Mais il convient de pousser plus loin la simplification. <

En efifet, les équations finales ne s'obtiennent pas toujours directement. On y parvient le plus souvent après une succession d'équations intermédiaires, dans lesquelles sont engagées, sous diverses formes, les quantités variables dont il y aura lieu plus tard de rechercher les limites. Avec ces quantités se trouvent en même temps des infiniment petits d'ordres supérieurs, destinés à disparaître dans le passage aux limites, et dont la suppression, nous venons de le voir, peut être opérée, purement et simplement, dans l'équation dernière. Mais puisque ces infiniment petits, disons-nous, \ doivent disparaître, quelle nécessité de les traîner en quelque /

( ' } C'est ce qui arriverait, notamment, si l'on avait à remplacer, dans l'équation finale, Taccroissement ày par sa valeur en fonction de l'accroissement de la variable indépendante; soit :

on pourrait se borner à écrire fix) Ax à la place de ày.

i4d TB0I9IÈME PABTIE.

r sorte dans tout le cours du calcul? N*est-il pas plus naturel et plus commode d'effectuer cette suppression au fur et à mesure que l'occasion s'en présente, c'est-à-dire dès que les éléments inutQes apparaissent dans les formules? Les équations intermédiaires qui auront été l'c^jet de pareilles simplifications sertmt à la vérité rendues ainsi inexactes; mais cette inexactitude n'est autre que celle qu'on aurait fait naître en opérant les mêmes simplifications uniquement sur : les équations finales. Or, nous savons que de telles erreurs I perdent leur influence, ou plutôt cessent d'être des erreurs, dès que le passage aux limites est effectué. En d'autres termes, le passage aux limites ccoiduit au même résultat, soit qu'on ait maintenu, soit qu'on ait supprimé ces infiniment petits d'ordre supérieur, et par conséquent rien n'empêche de les supprimer, quand on le juge avantageux.

59. C'est dans ce dernier genre de simplification, à savoir celle des équations intermédiaires, qu'il convient d'apporter la f>lus grande circonspection pour ne pas risquer de compromettre la rigueur du résultat final. Il faut être bien assuré que la simplification faite par anticipation aurait pu être légitimement réaUsée dans les équations dernières. Supposons, par exemple, que des quantités finies, qui figurent dans des relations intermédiaires, soient destinées à s'évanouir, par des compensations encore inaperçues, dans l'équation définitive, en sorte que celle-ci ne doive renfermer réellement que des infiniment petits de divers ordres. Les simplifications légitimes consisteront évidemment à supprimer tous les infiniment petits supérieurs à ceux du premier ordre et à conserver ces derniers. Mais si dans une équation intermédiaire on a eu à la fois des quantités finies et des infiniment petits du premier ordre,

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et que, dans Tignorance où Ton est encore de la future disparition des quantités finies, on supprime à côté d'elles .les infiniment petits , nécessairement on ne retrouvera plus dans Téquation finale les véritables éléments qui devraient s'y rencontrer, et dès lors la valeur des limites ne pourra pas être obtenue (*).

Il est impossible de fixer aucune règle générale pour prévenir ce danger. C'est avec une grande habitude de l'Analyse qu'on arrive à cette sorte d'intuition qui fait discerner si telle ou telle suppression dans le cours des calculs est de nature à engendrer une erreur..Gette sûreté de coup d'œil est d'ailleurs moins difficile à acquérir qu'on ne pourrait le supposer^ au premier abord. Malgré la diversité des questions^ les infiniment petits dont on fait usage sont généralement, les uns vis-à-vis des autres, dans des rapports de grandeur connus à l'avance. Quand on traite, par exemple, ua problème de Géométrie, on est presque toujours amené à la considération de quelque triangle infinitésimal, comme celui qui est formé par l'accroissement de l'abscisse, l'accroissement de l'ordonnée et la corde de l'arc. Souvent aussi on est en présence d'un angle et des lignes trigonométriques correspondantes. Or, on sait, une fois pour toutes, à quels ordres d'infiniment petits ces considérations donnent naissance, et l'on ne risque pas de prendre le change sur la grandeur de ceux qui peuvent être éliminés sans inconvé-

(*) C'est un cas semblable qui se produirait si, rencontrant à la fois dans une équation intermédiaire Taccroissement infiniment petit d'une quantité, diminué de sa différentielle, et des infiniment petits d'ordres supérieurs, on supprimait ces derniers par rapport à Taccroissement et à la dififérentielle, qui sont du premier ordre. La différence entre ces deux éléments constitue en réalité un infiniment petit du second ordre, en présence duquel on n'a pas le droit de négliger les autres infiniment petits du second ordre qui figurent dans la même relation.

i50 TROISIÈME PARTIE. — MÉTHODE INFINITÉSIMALE.

nient. C'est ce qui ressortira plus clairement du Chapitre suivant, où nous passerons en revue les principaux éléments qui se présentent dans la solution des problèmes de Géométrie. lia marche suivie pour déterminer les ordres respectifs de ces éléments montrera comment on peut généralement s'en rendre compte et s'édifier ainsi sur la légitimité des suppressions à opérer dans le cours des calculs.

60. La conclusion générale à tirer des réflexions précédentes, c'est que les équations infinitésimales sont toujours amenées, par des suppressions légitimes, à ne renfermer que des quantités du même ^ ordre de grandeur y puisque toutes celles d'ordres supérieurs disparaîtraient nécessairement dans le passage aux limites.

On doit voir là une sorte de principe d'homogénéité analogue à celui d'après lequel, en Algèbre, les termes d'une équation exprimant la loi analytique d'un phénomène quelconque sont tous du même degré.

La règle à suivre, pour ne pas s'égarer dans les simplifications, est donc de rendre toujours les équations homogènes par rapport à l'ordre de grandeur le moins élevé des diverses quantités qui s'y trouvent. Et l'on ramène à cette homogénéité non seulement les équations finales, mais encore les équations intermédiaires, à la condition, je le répète, de ne pas prendre le change sur l'importance des quantités, et de s'être bien assuré que l'ordre véritable de grandeur n'est pas déguisé sous de fausses apparences, par suite de certaines compensations implicites.