i- v/1 — sin^o

Or, quand x est infiniment petit, le dénominateur du second membre a pour limite 2, tandis que le numérateur est un infiniment petit du second ordre.

Il suit de là que le cosinus d'un arc infiniment petit dif-

fère de Tunité par un infiniment petit du second ordre ; car on a

1 — cosx — sin verse X.

Le sinus d'un arc infiniment voisin de 90** diffère pareillement de l'unité par un infiniment petit du second ordre, puisque le sinus de cet arc est égal au cosinus d'un arc infiniment petit.

De même, la différence entre le sinus de deux arcs infiniment près de 90° est un infiniment petit du second ordre ; — tandis que la différence des sinus de deux arcs qui diffèrent infiniment peu l'un de l'autre, mais qui n'approchent pas de 90°, est un infiniment petit du premier ordre.

La différence entre la tangente et le sinus d'un arc infiniment petit est du troisième ordre. En effet on a la relation générale

d'où

tango? = :

® coso; ^

sma?

tango? — smo? = smo?

^ coso?

et, par suite,

sino? X sinverseo?

tango? — sma?

coso?

Or, l'arc étant infiniment petit, le cosinus a pour limite l'unité, le sinus est du premier ordre et le sinus verse est du second. Donc la fraction qui exprime la différence en question est du troisième ordre.

La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est pareillement du troisième ordre. En effet , la corde et l'arc sont compris tous les deux entre le sinus et la tangente](*) ;

(*) La corde est évidemment plus grande que le sinus et plus petite

MÉTHODE INFINITÉSIMALE. i53

leur différence ne peut dès lors être supérieure à celle qui existe entre ces deux quantités.

62. Grandeur des éléments d'un triangle infinitésimaL — Les côtés d'un triangle quelconque sont proportionnels aux sinus des angles opposés. Si donc les trois angles sont finis, les trois côtés sont du même ordre de grandeur, c'està-dire simultanément finis ou simultanément infiniment petits.

Si l'un des angles est infiniment petit, le côté opposé est infiniment petit par rapport aux autres. D'où il suit que ces derniers ne difiièrent entre eux que d'une longueur infiniment petite, car leur différence est moindre que le troisième côté. Si, en outre, les deux angles finis sont très voisins chacun de 90^, la différence des côtés est un infiniment petit du second ordre ; car elle est proportionnelle à la différence des sinus, laquelle, d'après ce qu'on a vu plus haut, est du second ordre. On peut d'ailleurs s'en assurer directement, en exarriinant un triangle rectangle dont l'un des angles aigus serait infiniment petit, et l'autre, par conséquent, très près d'être droit. Appelons a l'hypoténuse, b le côté opposé au petit angle et c le troisième ; on a

a'^ — c^—b^ ou (a — c](a-hc) — b^; d'où

que la tangente, d'après la propriété connue des obliques ^'éloignant plus ou moins du pied de la perpendiculaire. Quant à l'inférrorité de l'arc à la tangente, il suffit, pour s'en convaincre, de faire tourner la figure autour de la sécante menée du centre à l'extrémité de la tangente, et de la rabattre de Tautre côté : le double de Tare se trouve alors enveloppé par le double de la tangente. . .

Si a et c sont des inânimeiit petits du premier ordre,

b sera du second ou b^ du quatrième, et

ou a

sera du troisième.

Ces remarques trouvent leur application dans le triangle formé par la corde d'un arc de courbe, la tangente et la portion de droite qui représente la différence entre les accroissements des ordonnées de la courbe et de la tangente (fig. 3). L'angle M'MN étant infiniment petit, puisqu'il

Fig. 3.

converge vers zéro en même temps que l'arc, le côté opposé M'N est infiniment petit par rapport à MN ou PP^ c'est-à-dire est du second ordre. Nous l'avions déjà établi par voie analytique (19), car M'N représente Ay— dy.

Par suite, la différence entre la corde MM' et l'accroissement MN de la tangente est un infiniment petit du second ordre.

Par suite encore, la différence entre l'arc et la corde est au plus du second ordre. En effet, dans un triangle, un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres

et plus grand que leur différence. On a donc