MN - M'N

Or ces deux limites, entre lesquelles Tare et la corde sont compris, dififèrent entre elles de 2 M'N, c'est-à-dire d'un infiniment petit du second ordre. Donc la corde diffère de l'arc par un infiniment petit qui est au plus du second ordre.

Si l'on abaisse la perpendiculaire M'I sur la tangente, on formera un triangle rectangle M M'I dans lequel l'angle M'MI est infiniment petit, et, par conséquent, M'I est du troisième ordre. La différence entre MM' et MI est donc un infiniment petit du troisième ordre. On démontrerait également, par des considérations analogues à celles de tout à l'heure, que la différence entre l'arc et la corde, que nous avions vue être au plus du second ordre, ne peut surpasser le double de M'I, c'est-à-dire est seulement du troisième ordre. Ainsi se trouve étendue aux arcs de courbes quelconques la proposition établie d'abord pour les arcs de cercle.

Disons enfin, pour terminer ce sujet, que, si dans un triangle deux angles sont infiniment petits, le troisième angle sera très près de 180°, et son sinus sera infiniment petit. Les trois côtés seront donc du même ordre de grandeur : ce qui était facile à prévoir, car deux côtés étant infiniment petits, en vertu de l'hypothèse faite sur les angles opposés, le troisième côté, moindre que la somme des deux premiers, est nécessairement infiniment petit.

Ces considérations montrent avec quelle facilité on peut souvent, dans le cours d'un calcul de limites, apprécier les relations de grandeur qui existent entre divers infiniment petits. C'est, d'ailleurs, ce que nous achèverons d'éclaircir bientôt sur quelques problèmes.