LES FORMULES

63. Nous avons vu, d'une manière générale, que la simplification des équations infinitésimales repose sur la faculté de supprimer les termes d'ordres supérieurs, ou, ce qui revient au même, sur la faculté de substituer Tune à l'autre deux quantités dont la différence est infiniment petite par rapport à ces quantités elles-mêmes ou dont le rapport a pour limite Tunité. Mais nous n'avons pas spécifié quelles sont les substitutions qu'il convient de faire pour obtenir les plus grandes simplifications possibles.

La nature de ces substitutions varie, en effet, d'un problème à Tautre, et aucune règle ne saurait être donnée à cet égard ; l'étude individuelle des questions montrera comment on fait usage du principe. Toutefois, il est une substitution d'un usage absolument général et d'un effet assuré, que nous pouvons par conséquent indiquer indépendamment de toute question particulière. Elle consiste à remplacer

toujours r accroissement infiniment petit éPune variable par sa différentielle.

Une telle substitution est évidemment légitime, puisque la différentielle ne diffère de Taccroissement que par un infiniment petit du second ordre. J'ajoute qu'elle est de nature à fournir les plus grandes simplifications ( ' ) , et même que la différentielle est la plus simple des quantités par lesquelles l'accroissement d'une fonction puisse être remplacé.

En effet, toute quantité propre à ce remplacement doit satisfaire à la condition que son rapport avec l'accroissement de la fonction et, par suite, avec toutes les autres quantités aptes à remplacer cet accroissement, ait pour limite l'unité. Le rapport de chacune d'elles avec l'accroissement de la variable indépendante tend donc vers la même limite. Mais la différentielle de la fonction étant égale au produit de la dérivée par l'accroissement de la variable indépendante, son rapport avec cet accroissement est égal à la dérivée, quantité qui, étant indépendante de l'accroissement lui-môme, est la limite commune de tous ces rapports. Aucun de ces rapports ne pourrait donc avoir une forme plus simple que cette dérivée elle-même ; et dès lors aucun infiniment petit propre à remplacer l'accroissement de la fonction ne pourrait avoir une forme plus simple que la différentielle.

( * ) Si l'on jette les yeux sur l'expression de l'accroissement, d'après la série de Taylor,

on voit que la substitution de f'{x)dx k ày fait disparaître toute la suite

MÉTHODE INFINITESIMALE. 159

A l'appui de ce raisonnement on peut faire valoir encore la considération suivante :

Remplacer Taccroissement de la fonction par la différentielle, c'est agir comme si cet accroissement était simplement égal à la différentielle, c'est-à-dire égal au produit de la dérivée par l'accroissement de la variable indépendante. Or, la dérivée étant indépendante de cet accroissement, cela revient à supposer que l'accroissement de la fonction est proportionnel à celui de la variable, ou augmente uniformément avec celle-ci à partir de la valeur initiale. Il est évident que parmi toutes les manières de concevoir qu'une fonction varie avec la variable, il n'y en a pas de plus simple que la proportionnalité ou l'uniformité. La substitution de la différentielle à l'accroissement a donc le même effet que si la loi quelconque qui rattache la variation de la fonction à celle de la variable était remplacée par la simple loi de l'uniformité. S'agit-il, par exemple, de l'accroissement de l'ordonnée d'une courbe? la substitution de la différentielle revient à supposer que la courbe, à partir du point considéré, est remplacée par sa propre tangente; car les or- . données de la tangente augmentent proportionnellement aux abscisses. S'agit-il de l'accroissement d'une aire curviligne? la substitution analogue implique tacitement que la courbe est remplacée par une parallèle à l'axe des abscisses ; car la surface rectangulaire ainsi formée augmente en raison directe de sa base. La ligne droite qui remplace la courbe dans le premier cas, et le rectangle qui remplace l'aire curviligne dans le second cas, sont évidemment les substitutions les plus simples possibles.