CHAPITRE VL

64. L'Analyse infinitésimale intervient, avons-nous dit, toutes les fois qu'une quantité ne pouvant être exprimée directement en fonction des données effectives du problème, on peut la considérer comme la limite d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits.

Une telle limite ne se présente pas toujours comme l'objet direct de la recherche, mais à l'occasion de certaines autres quantités dans l'expression desquelles elle figure. Qu'on demande, je suppose, la longueur de la sous-normale PN d'une courbe AS (fig, 4), dont l'équation est y —- f[x). Dans

le triangle rectangle MPN on a

PN — y tangPMN — y tangMVX,

Pour obtenir la valeur de PN, on est conduit à cher-

dii cher celle de tangMVX ou j- y qui n'est pas l'objet direct

de la question. Mais on peut considérer l'équation finale

METHODE INFINITESIMALE.

PN = y ;— comme le résultat de rélimination de tangMVX entre l'équation PN = y tangMVX et celle-ci :

tang MVX = Uni -^ ou :7^ • ^ \x dx

En sorte qu'au point de vue des considérations à présenter sur la Méthode infinitésimale, on peut toujours,

Fig. 4.

pour plus de simplicité, supposer que la question est ramenée finalement à rétablissement d'une équation de la

forme :

! limite de rappor^t ou limite de somme.

La résolution de tout problème comporte donc, indépendamment du calcul même des limites de rapport ou de somme (ce qui est l'affaire du Calcul infinitésimal proprement dit), une élaboration spéciale qui consiste :

i° A rechercher quelles sont les quantités infiniment petites dont les limites de rapport ou de somme ont pour valeurs les quantités inconnues ;

De Freycinet. — Anal, infin. | [

2** A ramener ces rapports ou ces sommes à la forme

voulue pour le calcul, soit--r^ — et ^f(x) Ax, f{x) devant

être une fonction connue de x. Car alors la question se

résout par un procédé analytique régulier, qui a pour but

dfix] C

de calculer la dérivée -^ — ou l'intégrale 1 f[x)dx.

Telles sont les deux parties du problème qui constitue l'objet propre de la Méthode infinitésimale. Nous les préciserons davantage dans les deux Chapitres suivants.