LES QUANTITÉS INCONNUES

65. Il est clair que cette recherche varie selon les questions, et que dans chaque cas particulier il y a lieu d'établir que la quantité dont on s'occupe peut être considérée effectivement comme la limite du rapport ou de la somme de certaines quantités infiniment petites. Se propose-t-on, par exemple, de trouver la longueur d'une courbe, le premier soin est de prouver que cette courbe est la limite de la somme des côtés des polygones inscrits. S* agit-il de Taire d'une courbe , on montre que cette aire est la limite de la somme des petits rectangles formés en menant par l'extrémité de chaque ordonnée de la courbe une perpendiculaire à l'ordonnée suivante. Cherche-t-on l'angle d'une tangente, on s'assure que la tangente trigonométrique de cet angle est la limite du rapport de l'accroissement de l'ordonnée à l'accroissement de l'abscisse, etc., etc.

Le raisonnement employé pour prouver que les infiniment petits considérés ont pour limite de rapport ou de

TROISIËAIË PARTIE.

somme la quantité inconnue consiste à faire voir que la définition de la limite est satisfaite, c'est-à-dire que la quantité variable représentée par le rapport ou la somme des infiniment petits s'approche autant qu'on le veut de la grandeur fixe, qui est l'inconnue de la question. A cet effet, on montre que, si l'on prend dans la grandeur fixe des éléments correspondant aux divers infiniment petits, chacun de ces infiniment petits ne diffère de l'élément homologue que par une quantité infiniment petite par rapport à luimcme. Or, on sait, en ce cas, d'après les propositions établies aux n**' 55 et 56, que la limite des infiniment petits est la même que celle des éléments, c'est-à-dire est égale à la grandeur fixe elle-même.

66. Considérons, par exemple, l'aire ABDG [flg, 5), comprise entre une courbe AB, Taxe des abscisses et deux

Fig. 5.

ordonnées AG, BD. Je veux démontrer que cette aire est la limite de la somme des rectangles tels que MPP'H, formés en élevant deux ordonnées infiniment voisines MP, M'P', et

menant MH parallèle à l'axe des abscisses. A cette fin, je prouverai que le rectangle infinitésimal ne diffère de l'élément homologue MMTT, appartenant à la surface donnée, que par une quantité MM'H infiniment petite par rapport au rectangle lui-même. On s'en assure aisément en remarquant que MM'H est moindre que MHM'K, quantité égale à MH x HM' ou à Arc. Ay. Or, ce produit est un infiniment petit du second ordre, tandis que le rectangle en question M HPT est mesuré par MP x PP' ou par y\x infiniment petit du premier ordre. La limite de la somme des rectangles tels que MPP'H ne difl'ère donc pas de la limite de la somme des surfaces MM'P'P, c'est-à-dire ne diffère pas de la surface donnée elle-même.

Il n'y aurait pas plus de difficulté à prouver qu'un arc de courbe est la limite des périmètres inscrits. Car soit MIM' (fig. 6) un arc infiniment petit correspondant à l'un des

côtés MM' du polygone inscrit. Nous avons vu précédemment (59) que la différence entre l'arc et la corde est infiniment petite par rapport à la corde elle-même. Donc, eu augmentant chacun des termes qui figurent dans la somme des cordes d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même, on reproduirait la quantité cherchée, qui est la longueur de la courbe donnée. Cette dernière est conséquemment la limite de la somme des cordes.

67. Une même quantité peut être envisagée comme limite d'une foule d'autres. Ainsi une courbe est aussi bien la limite des périmètres circonscrits que la limite des périmètres inscrits; elle l'est également d'une série de tangentes arrêtées chacune à l'ordonnée du point de contact suivant ; elle Test encore d'une série de droites quelconques, non tangentes à la courbe, mais qui s'en rapprocheraient indéfiniment d'après une loi donnée. De même Taire d'une courbe est la limite des trapèzes formés par deux ordonnées consécutives, et dont le côté supérieur se rapprocherait de plus en plus des extrémités de ces ordonnées. De même encore la tangente à une courbe est aussi bien la limite d'une sécante qu'on ferait tourner autour d'un de ses points de rencontre, que la limite d'une sécante qui s'éloignerait parallèlement à elle-même de l'intérieur de la courbe, etc. Dès lors, on demeure maître de choisir entre les divers infiniment petits ceux qui paraissent offrir le plus de facilités pour le calcul. Quant aux règles qui doivent diriger ce choix, il est impossible d'en préciser aucune. C'est l'habitude de l'analyse qui seule donne le discernement nécessaire en de telles appréciations.

Les quantités s'expriment tantôt sous forme de limite de rapport, tantôt sous forme de limite de somme. Ce n'est pas arbitrairement qu'on a recours, dans chaque cas, à l'une ou à l'autre de ces limites, et que la question se résout par des différentiations ou par des intégrations. Si l'on pouvait emprunter à volonté l'une des deux formes, on se prononcerait toujours pour celle de rapport, parce que le calcul des dérivées est bien plus assuré que celui des intégrales. Mais la nature de l'expression est déterminée par les conditions mêmes de la question. Selon que telles quantités ou telles autres sont assignées d'avance,

MÉTHODE INFINITESIMALE. 167

les quantités incoanues sont formées par des limites de rapports ou par des limites de sonmies. Ainsi, dans un mouvement rectiligne varié, si c'est Tespace parcouru qui est donné en fonction du temps, la vitesse s'exprime par une

limite de rapport ( lim— > s étant l'espace et t le temps) ; si

c'est la force qui est connue, la vitesse s'exprime par une

limite de somme ( f Pdt, P étant la force)* Dans aucune

circonstance on n'a la possibilité de recourir indifféremment à l'un des deux modes de limite pour obtenir la quantité inconnue.

Il n'y a d'exception à cette règle que si les données du problème sont en nombre surabondant. C'est ce qui arriverait dans l'exemple ci-dessus, où l'espace et la force seraient simultanément connus à priori; la valeur de la vitesse s'obtiendrait alors à volonté par une iimite de rapport ou par une limite de somme. Mais ce cas, disons-nous, nécessite des données superflues. Car si, dans une certaine question, on

Al/ trouve que la quantité est égale à la fois à lim^ et à

lim2z Ao?, y et z étant des fonctions connues de x, il en

résulte lim-~ — lim2z Aa;, d'où y=z:^[z]. Ainsi Tune des

quantités y et ^ pourrait se déduire de l'autre. Si donc, comme on le suppose, elles sont assignées toutes deux à priori^ le nombre des données de la question se trouve incontestablement surabondant.

D'après ces explications, on n'a pas généralement à choisir entre les deux formes de limites, et il faut bien s'en tenir à celle qu'impliquent les conditions mêmes du problème.