CHAPITRE VIII

DÉTERMINATION DES INFINIMENT PETITS ENTRANT DANS L'EXPRESSION DES LIMITES.

68. Ce n'est pas tout que d'avoir discerné les infiniment petits dont les rapports ou les sommes ont pour limites les quantités cherchées : il faut encore, ainsi que nous l'avons indiqué au Chapitre VI, savoir calculer la valeur de ces limites par les procédés connus de la différentiation ou de

l'intégration. Il faut donc ramener à la forme '^ '

etl,f(x) Aa? des expressions telles que ^ et ly, dans lesquelles a, € et Y désignent les infiniment petits sur lesquels portent les limites en question. C'est ainsi que, lorsqu'on cherche la longueur d'un arc de courbe et qu'on a reconnu que cette longueur est égale à lim2/, l représentant la longueur d'une corde inscrite, on doit s'occuper de remplacer / par f(x] \x, f(x) étant une fonction quelconque de x. De telle sorte que le calcul de lim2/ puisse être effectué par Vintégration de f(x) Aa?.

En un mot, il est nécessaire d'exprimer les divers infiniment petits en fonction d'un seul d'entre eux, par exemple en fonction de l'accroissement de la variable indépendante. On aperçoit, en effet, que dans l'hypothèse où nous nous plaçons, d'une seule variable indépendante, les accroissements des diverses quantités doivent dépendre de l'accroissement de cette dernière.

C'est surtout à ce point de l'élaboration qu'on retire la plus grande utilité des considérations exposées précédemment. La détermination des infiniment petits en fonction les uns des autres est constamment facilitée par cette circonstance capitale, qu'au lieu de chercher à établir entre eux des équations exactes^ — ce qui présente le plus souvent des obstacles insurmontables, — on peut omettre tous les infiniment petits d'ordres supérieurs, qui devraient figurer dans ces équations pour qu'elles fussent absolument rigoureuses, mais qui en disparaîtraient inévitablement plus tard par suite du passage aux limites.

Et non seulement on peut négliger ces quantités d'ordres supérieurs, mais il n'est pas même nécessaire de chercher à les mettre en évidence, ni d'établir aucune relation analytique approchée entre les deux infiniment petits qui doivent se remplacer l'un par l'autre. Il sufBt tout simplement de s'assurer que la différence entre ces infiniment petits est d'un ordre supérieur, et dès lors la substitution peut s'effectuer sans autre détermination. Nous avons dit, dans le Chapitre V, comment on apprécie, dans certains cas, l'ordre de grandeur des infiniment petits; il est facile d'en conclure la marche générale à suivre. Nous allons du reste fournir d'autres exemples.