ET DE LA COURBURE D'UN ARC DE COURBE

69. Nous plaçant actuellement au point de vue développé dans les deux Chapitres précédents, appliquons la Méthode infinitésimale à la solution de quelques problèmes des plus usuels.

Fig. 7.

Détermination de la longueur d'un arc de courbe. — Pour déterminer la longueur d'un arc de courbe, nous sommes

amenés à calculer la limite vers laquelle tend la somme des cordes inscrites. Afin d'exprimer l'une de ces cordes MM' [fig, 7) sous la forme voulue, f[x] Ao:, remarquons que le triangle MM'H donne

MM' ^ \/MH' -+- M' H* = v^Ax' -h Ay^

Ai/V AiC/

Mais à mesure que chaque corde devient plus petite, le rapport -^ tend à se confondre avec /^(x) ou ^- On

dy'

peut donc remplacer 1/ 1 "+■ ( t^ ) P^^ V/ ^ ' ' d ^ ' "' a étant une quantité infiniment petite par rapport à

1 -f- j^ ^ puisqu'elle s'annule avec àx. Au lieu de chercher la valeur de a pour exprimer exactement la longueur de la corde, on la néglige purement et simplement, parce qu'on sait fort bien qu'elle disparaîtrait lorsqu'on prendrait la limite de la somme de toutes les cordes. On obtient ainsi

(I) MM'^dxyA+l!

expression qui a bien la forme voulue f{x) Ax, puisque

dy^ dx

étant le carré de la dérivée de la fonction qui exprime

l'ordonnée de la courbe, le radical i/ ^ -^:ri représente

dt dx^

une certaine fonction de x.

De là on déduit, en désignant par a?o et Xi les abscisses

correspondant aux extrémités de l'arc total AS dont on cherche la longueur :

En désignant Tare par s et sa différentielle par ds, on peut remplacer MM' par ds, En effet, la corde diffère de l'arc sous- tendu d'un infiniment petit du second ordre; cet arc sous-tendu, qui représente raccroissement As de l'arc AM, diffère lui-même de la différentielle ds par un infiniment petit du second ordre; donc aussi la corde diffère de la différentielle par un infiniment petit du second ordre. Dès lors on peut les substituer l'une à l'autre sans crainte de compromettre le résultat obtenu par le passage aux limites. La relation (1) prend la forme suivante, sous laquelle on la donne ordinairement :

ds=^ dx i / [ -\-

dx'

ou rf5=: yjdx"^ -f- dy^

70. Mesure de Vaire d\ne courbe, — Soit ABDG (/i^. 8) l'aire en question. Ce problème conduit, comme on l'a

Fig. 8.

vu (66), à calculer la limite de la somme des rectangles

MÉTHODE INFINITESIMALE. 173

MliPP. Il faut ramener Texpression de chacun d'eux à la forme f(x) ^x. Ce résultat est obtenu immédiatement, car MP ou y est exactement égal à la fonction qui représente l'ordonnée de la courbe. Siy =: f(x) est l'équation de cette courbe, le rectangle MHP'Pa pour valeur f[x) àxon f[x) dx, et l'on en déduit

ABDG

f f[x) dx.

On peut, comme dans l'exemple précédent, remplacer le rectangle MHP'P par dA, en désignant par A l'aire cherchée et par dk sa différentielle. On s'appuie sur cette remarque que le rectangle diffère de l'accroissement et celui-ci de la différentielle par un infiniment petit du second ordre. Il en résulte la relation usitée :

dk ■:— f[x] dx,

71. Détermination de la courbure d'une courbe, — Cette question conduit, on le sait, à calculer la limite vers laquelle tend le rapport de Tare à l'angle extérieur formé par les deux tangentes extrêmes, à mesure que la longueur de cet arc diminue indéfiniment. C'est la conséquence de la définition même de la courbure, dont nous rappellerons brièvement les principes.

La courbure se définit d'une manière analogue à la vitesse, c'est-à-dire qu'on considère d'abord une ligne uniforme ou régulière, pour passer ensuite à une ligne quelconque.

Une ligne est régulière lorsque les angles formés extérieurement par les tangentes menées aux extrémités d'arcs égaux sont égaux, quelle que soit la longueur absolue des arcs. L'angle correspondant à l'unité de longueur de l'arc,

OU le rapport constant des angles aux arcs interceptés, est ce qu'on nomme la courbure de la ligne. Les seules lignes régulières ou à courbure constante sont la ligne droite et la circonférence. Encore convient-il d'exclure la première, qui n'a pas, à proprement parler, de courbure, puisque le rapport dont il s'agit est égal à zéro. Dans un cercle, l'angle extérieur des tangentes est égal à l'angle au centre, et celui-ci est égal à l'arc intercepté divisé par le rayon. Donc la courbure, qui est représentée par le rapport de l'angle à

l'arc, est également exprimée par l'unité divisée par le

rayon, c'est-à-dire par -rj-

Dans une courbe irrégulière, c'est-à-dire où le rapport de l'angle à l'arc n'est pas constant, on nomme courbure en un point quelconque la limite vers laquelle tend le rapport de l'angle extérieur à l'arc pris à partir de ce point, à mesure que Tare diminue indéfiniment. On nomme cercle de cour-

bure celui qui aurait la même courbure que la courbe en ce

point, ou dont le rayon serait tel que :^ fût égal à la limite

dont nous venons de parler. Le rayon de ce cercle est appelé rayon de courbure de la ligne; il a pour valeur r unité divisée par la valeur de la courbure.

Reprenons actuellement le problème que nous nous sommes proposé.

Soit AB (fig. 9) la courbe donnée. Il s'agit de déterminer la valeur de la courbure en un point quelconque M.

Si je prends, à partir de ce point, un arc MM', et que je mène les tangentes MT, M'T', la limite du rapport de l'angle extérieur TIT' à la longueur de l'arc MM' fournira la quantité cherchée. Mais cet angle n'est autre chose que l'accroissement AV de l'angle V formé par la tangente à la courbe

METHODE INFINITESIMALE.

avec l'axe des abscisses, quand i en passe du point M au point M'. De même Tare MM' est l'accroissement de Tare s

Flg. 9.

compté à partir d'une certaine origine. La limite en question est donc celle du rapport — •

Cette limite aurait la forme voulue , et pourrait

tXCli

être calculée immédiatement si s était la variable indépendante, et si V était une fonction connue de s. Elle serait

dY alors fournie par la dérivée -j- Mais, comme nous avons

coutume de prendre l'abscisse pour variable indépendante, les quantités V et s doivent être considérées toutes • deux comme fonction de x. Or, on sait dans ce cas (28) que la dérivée de V prise par rapport à s, comme si s était la variable indépendante, est égale au rapport des dérivées de V et de s, prises par rapport à la véritable variable indépen-

dante x. Donc la courbure cherchée, ou lim-— -j est donnée

' as

(1er par la fraction — -— , dans laquelle le numérateur et le

dx dénominateur représentent des dérivées de forme connue. Il ne s'agit plus que d'en calculer les valeurs. A cet effet, remarquons que l'angle V ayant pour tangente

trigonométrique ~-> on en déduit

-, ^ dy ^ ^V dx^

V = arc tang -j- et

dx dx dv-

dx''

D'autre part, nous avons trouvé précédemment

ds . /^ ^ dr-

dx V dx^

11 en résulte, en appelant R le rayon de courbure,

d^y ,. AV 1 dx^

lim-r- ou rpT

^ dx'

On arrive plus rapidement à la même conclusion en

remarquant que dans l'expression lim— on peut, sans

altérer la valeur de la limite, remplacer les accroissements de l'angle et de l'arc par leurs différentielles, qui n'en diffèrent que par des infiniment petits d'ordres supérieurs ;

AV dV

ce qui permet d'écrire immédiatement lim-r— — -i- • On en

As CuS

déduit la formule ci-dessus, d'après les valeurs connues de dN et de ds en fonction de x.

Mais cette manière de procéder ne se distingue pas réellement de la première. Car, prendre les différentielles de V et de 5 par rapport a x, c'est supposer implicitement que

l'expression -r- est remplacée par

dV dx

Or, cette forme est précisément celle à laquelle on avait déjà été conduit.

De Fheycinet. — Anal, infin. 12