CHAPITRE X

SOTE DE L'APPLICATION DE LA MÉTHODE INFINITÉSIMALE. DÉTERMINATION DU CERaE OSCULATEUR.

72. La recherche du cercle osculateur n'étant qu'un cas particulier de la théorie générale de^ contacts, nous croyons devoir rappeler cette dernière.

La théorie des contacts, due, comme on sait, à Lagrange, repose sur la conception suivante :

On dit que deux courbes ont, enun certain point, un contact de l'ordre n, lorsque la différence des ordonnées des deux courbes, correspondant à un accroissement infiniment petit de l'abscisse, est un infiniment petit de l'ordre n h- 1.

Cette condition est évidemment réalisée quand les fonctions des deux courbes et les dérivées de ces fonctions, jusqu'à Tordre n inclusivement, pr^inent respectivement les mêmes valeurs pour les coordonnées du point de contact.

Voici, en résumé, les considérations qui ont conduit Lagrange à établir cette remarquable classification des contacts.

Par un même point on peut faire passer une infinité de

courbes tangentes à une courbe donnée ; car ces courbes sont assujetties à la seule condition que leurs dérivées premières soient égales, pour le point commun supposé, à la dérivée de la courbe donnée : c'est le contact du premier ordre. L'abscisse venant d'aiUeurs à croître d'une quantité infiniment petite, la différence des ordonnées des diverses courbes est un infiniment petit du second ordre. Car si, pour chaque courbe, on développe la valeur de l'accroissement de l'ordonnée, d'après la série de Taylor, on obtient 1° Pour la courbe y = f(x],

2^ Pour une autre courbe y, = <p(a;),

et la différence Ai/i — Ay est bien du second ordre , puisque par hypothèse f[x]=^^'[x].

Gela posé, remarquons que les diverses courbes pourront être très inégalement tangentes à la courbe donnée, selon que la différence des ordonnées sera plus ou moins petite. Si l'une de ces courbes, par exemple, est telle que sa dérivée seconde ait la même valeur que la dérivée seconde de la courbe donnée, la différence Ayi — Ay sera un infiniment petit du troisième ordre. Dans ce cas, le contact sera beaucoup plus intime, puisque, dans le voisinage du point commun, les deux courbes seront infiniment plus rapprochées que celles dont les seules dérivées premières sont égales, et ce contact est dit du second ordre.

En continuant de la sorte, on aura des contacts de plus en plus intimes, à mesure qu'un plus grand nombre de

dérivées auront les mêmes valeurs pour le point commun. D'une manière générale, on appelle, comme nous Tavons dit en commençant, contact de Tordre n celui qui correspond à Végalité de n dérivées successives, ou pour lequel la différence des ordonnées est un infiniment petit de l'ordre n-H 1.

Il est aisé de se rendre compte des circonstanœs qui permettent à une courbe d'avoir un contact d'un ordre plus ou moins élevé avec une courbe donnée. Chaque degré dans l'ordre du contact correspond à l'égalisation d'une dérivée. Il faut donc que la courbe tangente ait autant de paramètres ou constantes arbitraires qu'il y a d'égalités semblables à satisfaire ou qu'il y a d'unités dans l'ordre du contact, sans parler de la relation qu'elle doit déjà vérifier comme ayant un point commun (le point de tangence) avec la courbe donnée. Pour qu'une courbe puisse être tangente jusqu'à l'ordre n, son équation doit comprendre au moins n 4- 1 paramètres dont on puisse disposer, savoir : 1 paramètre pour la condition du point commun, et n autres paramètres pour réduire à l'ordre n -h 1 la différence des ordonnées des deux courbes.

De là résulte que, pour chaque espèce de courbe, l'ordre du contact est limité par le nombre maximum de paramètres que comporte l'espèce de la courbe.

Parmi toutes les courbes de même espèce, ou ayant même nombre de paramètres, on nomme courbe osculatrice celle dont le contact est de l'ordre le plus élevé possible.

La ligne droite (qui est une variété de courbe) a au plus deux paramètres : son contact le plus intime est donc le contact du premier ordre; ce qui est évident de soi, car des droites ne peuvent être plus tangentes les unes que les autres à une courbe donnée.

Le cercle a au plus trois paramètres : son contact le plus intime sera du second ordre, et le cercle osculateur en un point donné d'une courbe sera déterminé par les trois équations exprimant : 1° que la circonférence passe par le point donné; 2** que la dérivée première est égale à celle de la courbe ; 3** que la dérivée seconde est pareillement égale à la dérivée seconde de la courbe donnée (*).

Quand on écrit ces trois équations et qu'on en déduit la longueur du rayon , on trouve qu'elle est égale à

- — -7j — ^ ; ce qui est précisément l'expression du rayon

d^ de courbure. Ainsi, le cercle de courbure et le cercle osculateur se confondent. Il était facile de le prévoir; car quel est le cercle qui pourrait mesurer la courbure d'une ligne, sinon celui qui a avec cette ligne le contact le plus intime possible ?

73. La détermination du rayon du cercle osculateur n'est pas, à proprement parler, une application de la Méthode infinitésimale : c'est une question de pure Algèbre, qui consiste à résoudre un système d'équations à plusieurs inconnues, sans qu'il y ait lieu de faire intervenir aucun des théorèmes démontrés sur les limites et les infiniment petits.

Le même problème peut être traité à un point de vue véritablement infinitésimal, de la manière suivante :

( * ) La parabole comportant quatre paramètres dans son équation, le contact d'une courbe avec une parabole peut être plus intime qu'avec un cercle. Le contact d'une ellipse peut être plus grand encore, puisque son équation renferme cinq paramètres.

Soient AB une courbe [fig. 10), etMCQle cercle osculateur cherché en un point M de cette courbe.

Fig. 10.

Le centre du cercle se trouve évidemment situé sur la

normale MG de la courbe, puisque la courbe et le cercle ont

la même tangente MT. Reste à déterminer la longueur MG.

Or, si Ton prend sur le cercle un arc infiniment petit Mm',

le rayon, qui est égal au rapport constant de l'arc à l'angle

extérieur des tangentes, quelle que soit la grandeur de

l'arc, sera égal au rapport de Mw' à l'angle Hit'. D'un autre

côté, si Ton considère, sur la courbe, Tare MM' et l'angle

T'IT, correspondant au même accroissement de l'abscisse,

le rayon de courbure de la courbe sera exprimé, comme

MM' on sait, par limp^p^- Mais les arcs MM' et Mm', qui sont

les accroissements des longueurs des deux courbes, et les angles T'IT, Tî«', qui sont les accroissements des inclinaisons des tangentes, ne diffèrent respectivement entre

MÉTHODE INFINITESIMALE. 183

eux que par un infiniment petit du second ordre. En effet, la différentielle d'un arc de courbe quelconque est représentée par dxi/ 1 -r- -^ , et cette quantité a la même valeur

pour la courbe et pour le cercle, puisque, par hypothèse, la dérivée première est la même de part et d'autre. Donc les accroissements AIM' et Mm', qui diffèrent respectivement de leurs différentielles par un infiniment petit du second ordre, ne peuvent avoir entre eux qu'une différence de cet ordre. Pareillement, la différentielle de Tangle formé par la tangente avec Taxe des abscisses est exprimée par

j ; cette quantité a encore la même valeur pour la

4 dy

^ dx^

courbe et pour le cercle, puisque, par hypothèse, les dérivées première et seconde sont égales des deux côtés. Donc les accroissements T7T, "ÏW ne diffèrent entre eux que par un infiniment petit du second ordre.

De là il suit que la limite du rapport de Tare à Tangle appartenant à la courbe est identique à la limite du rapport des quantités analogues appartenant au cercle. Or ce dernier rapport est constant, quelle que soit la grandeur de l'arc, et est égal au rayon. Donc le rayon du cercle

osculateur est exprimé par lim^^TJ™ ou P^-r lim^^ en

appelant s la longueur de la courbe et V l'angle de la tangente avec Taxe des abscisses. En d'autres termes, il se confond avec le rayon du cercle de courbure. Cette conséquence est directement fondée, on le voit, sur la définition même du cercle osculateur, puisqu'elle nécessite que les dérivées première et seconde de la courbe soient égales à celles du cercle.

74. Une remarque se présente sur l'ordre de Tinfiniment petit qui exprime la différence des ordonnées des deux courbes à partir du point de contact.

Nous avons dit que pour le contact de Tordre n, la différence correspondant à un accroissement infiniment petit de l'abscisse est de l'ordre n h- 1. Dans la circonstance particulière où la tangente commune aux deux courbes serait parallèle à la direction des ordonnées, Tordre de la différence serait moins élevé d'une unité. Ainsi, pour le contact simple, la différence, au lieu d'être du second ordre, serait du premier.

Soient en effet les deux courbes AB, A'B' (fig. 11), dont la tangente commune

Fig. 11.

en M est parallèle à Taxe OY. Prenons Tordonnée voisine FM'N', et formons le triangle infinitésimal MM'N'. Les angles N' et M sont infiniment petits, puisqu'ils ont pour limite zéro, et Tangle M' converge vers 180^. Les trois sinus sont donc à la fois infiniment petits, et les trois côtés sont

METHODE INFINITESIMALE.

du même ordre de grandeur. La différence N'M' est par suite du même ordre que MM' ou que Taccroissement M'H. Il est bien évident que cette démonstration repose tout entière sur le parallélisme supposé de la tangente MT avec l'ordonnée P'N'; sans cela, on ne pourrait pas dire que l'angle N' converge vers zéro. Si Ton prend, par exemple, deux autres courbes AB, A'B' (fig. 12), pour lesquelles ce paral-

lélisme n'ait pas lieu, et qu'on forme le même triangle MM'N', on reconnaît que l'angle N' converge vers l'angle VMP, qui n'est pas nul, tandis que l'angle M continue à

avoir pour limite zéro. Donc M'N' est infiniment petit par rapport à MM' ou par rapport à l'accroissement M'H.

La particularité que nous venons de signaler est, du reste, indiquée par le calcul. Car dans chacune des formules qui donnent pour les deux courbes l'expression de l'accroissement de l'ordonnée, la fonction dérivée acquiert une valeur infinie, puisque l'angle formé par la tangente à

la courbe avec Taxe des abscisses est supposé droit exactement.

Pour le cercle osculateur, la différence des ordonnées serait du second ordre, au lieu d'être du troisième; et ainsi de suite pour les autres ordres de contact des courbes.