VARIÉ

75. Avant de traiter ce problème, nous rappellerons quelques considérations générales sur les mouvements.

On sait qu'un mouvement rectiligne quelconque est représenté par une équation de la forme s^=f(t)^ dans laquelle t désigne la durée du temps écoulé et s la longueur parcourue depuis une certaine origine. On sait aussi que

la vitesse V est exprimée par lim-r^ ou -^» et la forcé accé-

leratrice P par lim — - ou -3- ou enfin par ^-r- ^ M dt ^ dt^

Si, dans la relation s=^f{t), on regarde î et s comme correspondant respectivement à l'abscisse et à Tordonnée d'une courbe, on est conduit à établir pour les mouvements rectilignes des théories similaires de celles qui ont été établies pour les courbes.

Ainsi, on dit que deux mouvements coïncident à un certain moment, lorsque, pour une certaine valeur du temps

écoulé, ils ont la même vitesse. C'est un phénomène analogue à celui du contact de deux courbes, et il est exprimé par l'égalité des dérivées premières. La différence des espaces parcourus au bout d'un accroissement infiniment petit du temps, à partir du point de coïncidence, est une quantité infiniment petite du second ordre. D'une manière générale, on dit que deux mouvements ont une coïncidence de l'ordre n à un certain moment, lorsque la différence des espaces parcourus au bout d'une durée infiniment petite est un infiniment petit de l'ordre n -h 1. Cette coïncidence est exprimée par l'égalité des dérivées, chacune à chacune, jusqu'à Tordre n inclusivement.

JjC mouvement osculateur d'un mouvement donné est celui qui a avec ce dernier le contact le plus élevé possible, d'après le nombre de paramètres arbitraires que comporte son équation. L'équation la plus générale du mouvement uniforme étant s=^a-^bt^ et cette équation renfermant deux paramètres, sa coïncidence avec un mouvement varié ne dépasse pas le premier ordre. Sa vitesse est égale à la dérivée première de Tespace parcouru dans le mouvement varié. L'équation la plus générale du mouvement rectiligne uniformément varié étant s^a-i-bt-h et*, sa coïncidence peut être poussée jusqu'au second ordre. Il joue donc, à l'égard des mouvements rectilignes variés, un rôle correspondant à celui du cercle osculateur vis-à-vis des courbes. Sa vitesse est exprimée par la dérivée première, et sa force accélératrice par la dérivée seconde de l'espace parcouru. La différence entre les accroissements des longueurs décrites pendant une durée infiniment courte, à partir de la coïncidence des deux mouvements, est un infiniment petit du troisième ordre.

On ramène le mouvement curviligne au rectiligne en le

MÉTHODE INFINITÉSIILALE. 189

considérant comme provenant de la combinaison de trois mouvements rectilignes s'exerçant chacun le long d'un des axes de coordonnées. La vitesse d'un de ces mouvements partiels est égale à la dérivée première, et la force à la dérivée seconde de la longueur parcourue sur Taxe. En vertu des lois sur la composition des mouvements, la vitesse du

^^ mouvement curviligne est égale à ^i(} -^ v^-\-w^ ou -^y

en désignant par u, v, w les vitesses suivant les trois axes ;

la force accélératrice totale est égale à v/X* -t- Y^ -h Z^ en appelant X, Y, Z les forces partielles suivant les axes. Chacun des mouvements composants a une coïncidence du premier ordre avec le mouvement uniforme ayant pour vitesse la dérivée première , et une coïncidence du second ordre avec le mouvement uniformément varié ayant pour force constante la dérivée seconde. Le mouvement osculateur du second ordre du mouvement curviligne est donc produit par une force constante dont les trois composantes seraient X, Y, Z , c'est-à-dire par une force constante ayant la grandeur et la direction de la force donnée au moment de la coïncidence. La trajectoire décrite sous l'influence d*une telle force et d'une telle vitesse acquise est, comme on sait, une parabole. Le mouvement osculateur du mouvement curviligne est nommé parabolique, et il jouit delà propriété que la différence entre les ordonnées des deux mouvements, prises suivant un axe quelconque, au bout d'une durée infiniment courte à partir de la coïncidence, est un infiniment petit du troisième ordre.

76. Occupons-nous maintenant de déterminer les composantes tangentielle et normale de la force qui produit un mouvement curviligne.

Soient AB(fig. 1 3 ) la trajectoire décrite ( * ) , M la position du mobile à un certain moment, MP la force accélératrice, et MT, MG les directions de la tangente et de la normale au point M. Nous voulons avoir les composantes T et Q de la force suivant MT et MO.

Fig. 13.

Si la composante T agissait seule, le mobile, sous Tinfluence de cette force et de la vitesse acquise, parcourrait pendant le temps infiniment petit M une certaine longueur MK. Si la composante Q agissait seule, le mobile parcourrait une certaine longueur ML En vertu de ces actions simultanées, le mobile parcourt réellement l'arc de courbe MM' et se trouve en M' au bout du temps M.

Le mouvement suivant MT étant rectiligne, la force T

de ce mouvement est égale à -j-j-? en désignant par cr la

{*) Nous avons supposé sur la figure, pour plus de simplicité, la trajectoire plane; mais le raisonnement serait le même si elle était à double courbure.

longueur décrite sur la tangente. Or M'K étant perpendiculaire à MT, la longueur MK ou A<x ne diffère que par un infiniment petit du troisième ordre de l'arc MM' ou A5 (62). Donc A'aet A* s, qui sont des infiniment petits du second ordre, difi^èrent entre eux par un infiniment petit d'ordre supérieur (*), et dès lors peuvent ôtre substitués l'un à l'autre dans les expressions

hm^ethm-^, ou^et — Donc enfin on obtient

T — — V ou T = -T- • dt^' dt

Quant à la composante normale Q, on a évidemment