D'UNE COURBE

77. La faculté de remplacer l'une par l'autre, dans un calcul de limites, deux quantités infiniment petites qui ne diffèrent entre elles que par un infiniment petit d'ordre supérieur, revient à considérer ces quantités comme identiques relativement aux opérations à effectuer. En d'autres termes, on peut les assimiler l'une à l'autre, et s'en servir indifféremment dans le cours du raisonnement. De là le nom de Méthode d'assimilation, sous lequel nous désignerons ce mode de démonstration.

En se plaçant à un semblable point de vue, on réussit à abréger sensiblement le discours. Et cela se conçoit, puisque, étant admis une fois pour toutes que les quantités sont parfaitement assimilables, il devient inutile, à chaque substitution opérée dans la suite du calcul, de rappeler les principes qui rendent cette substitution légitime. Nous avons dit, par exemple, que la différence entre un arc de courbe

infiniment petit et la portion de la tangente interceptée par les mêmes ordonnées est une quantité infiniment petite du second ordre, et que dès lors ces deux longueurs peuvent être remplacées Tune par Tautre dans toutes les expressions de limites de sommes ou de limites de rapports. Nous énoncerons cette vérité en d'autres termes, en disant que Tare de courbe peut être assimilé à une droite, sur une portion infiniment petite de sa longueur ; et quand nous aurons à figurer cet arc géométriquement, nous lui donnerons une apparence rectiligne. Les relations déduites de Texamen de la figure seront toujours établies en supposant que cet arc est effectivement une très petite ligne droite. De même, dans un mouvement rectiligne varié, Tespace parcouru au bout d'une durée infiniment petite ne diifère que par un infiniment petit du second ordre de celui qui serait parcouru si la vitesse demeurait constante. On assimile donc ces espaces l'un à l'autre, ou, ce qui revient au même, on regarde le mouvement varié comme uniforme pendant un temps infiniment court. On dit aussi que l'élément (*) d'une courbe est rectiligne, et que l'élément d'un mouvement varié est uniforme. •

C'est d'après le même ordre de considérations que l'accroissement infiniment petit d'une quantité est désigné par la difTérentielle, et que, selon les besoins du calcul, on écrit indifféremment dans les formules Ay ou dy ; bien que ces

(*) Il faut se garder d'attacher au mot élément, ainsi employé, aucune idée de partie constitutive^ L'élément n'est pas une portion déterminée de la grandeur considérée. Ce terme est simplement synonyme d'infiniment petit. Quand on dit que les éléments d'une courbe sont rectilignes, cela signifie que, sur une longueur infiniment petite, Tare de courbe peut, au point de vue d'un calcul de limites, être considéré comme une ligne droite, et les formules être établies en conséquence.

TROISIEME PARTIB<

symboles ne correspondent pas, en réalité, à des grandeurs identiques, mais parce que la différence entre elles est un infiniment petit d'ordre supérieur. Cette assimilation s'étend aux diverses catégories différentielles, et Ton écrit à volonté A*i/ou d*yy A'y ou d*y, etc., etc.

Pour bien apprécier la méthode dont nous parlons, il convient de Tétudier sur divers exemples. Aussi reprendrons-nous, à ce nouveau point de vue, les principaux cas traités précédemment, et nous rechercherons de quelle manière la forme du raisonnement se trouve modifiée.

78. Occupons-nous de déterminer la longueur d'un arc de courbe AB (fig, 14).

Fig. 14.

Soit MM' un élément de la courbe. Menons les coordonnées MP, M'P' des extrémités, et traçons MH parallèle à Taxe

des abscisses. Le triangle MM'H étant rectangle, on a

MM' == VMH V M'H% Or, MH, M'H et MM' représentent respectivement les diffé-

rentielles. de l'abscisse, dé rordbnnée et de Tare delà courbe, c'est-à-dire dx^ dy et ds. Cette relation prend donc la forme suivante :

ds = \/dx^-i-dy^ ou ds^=:dxi/\

dx''

d'où, en désignant par Xo et Xi les abscisses OC et OD des extrémités dé l'arc donné,

=rw

1=1 dxl/i ■ "»

^ w dx^

Cette intégrale a la forme voulue / f{x]dx, puisque -r^

est le carré de la dérivée de la fonction qui exprime l'ordonnée de la courbe.

Le procédé dont nous venons de faire usage est bien plus expéditif que celui qui est exposé au n** 69. Mais il est manifeste que sa plus grande simplicité tient uniquement à ce qu'on y sous-entend certains principes formulés explicitement au numéro précité. En effet, pour que la {relation fondamentale des triangles rectangles soit applicable au contour MM'H, il faut que MM' soit une ligne droite ou puisse être considérée comme telle. D'autre part, pour que M'H puisse être remplacée par dy, il faut que le point M' appartienne réellement à la tangente MT. De ces deux conditions réunies, il suit que l'arc MM' est implicitement assimilé à la portion MN de la tangente MT. Or, ce qui fait la légitimité de cette assimilation, c'est précisément la faculté de remplacer les uns par les autres des infiniment petits qui ne diffèrent entre eux que par un infiniment petit d'ordre supérieur. C'est le même motif qui permet d'écrire immédiatement ds au lieu de MM' ou A5 ; car la différentielle et

raccroissement sont égaux, à un infiniment petit près du second ordre. En résumé, la méthode ci-dessus n'est plus rapide qa'en apparence^ et elle présuppose la démonstration rigoureuse des théorèmes relatifs aux infiniment petits.

79. Évaluons maintenant la surface ABDG [fig. 15) comprise entre la courbe AB, Taxe des abscisses et les ordonnées AG, BD.

Fig. 15.

Soit MPFM' un élément de la surface, c'est-à-dire une bande correspondant à l'élément MM' de la courbe. L'aire de ce trapèze infinitésimal est égale à la hauteur PP' multipliée par np, parallèle à la base MP, et à égale distance de cette base et de M'P'. On a donc

MPP'M'^npxPF.

Mais PP' et MPP'M' représentent respectivement les différentielles dx et dk de l'abscisse et de l'aire cherchée. Quant à np, infiniment voisin de MP, on peut le remplacer par y. Il en résulte

dX = y dx^

et, en intégrant,

ydx.

ri

Il y a lieu de faire les mêmes remarques que pour la question précédente. Car ce sont encore les mêmes principes qu'on sous-entend pour donner plus de simplicité apparente au raisonnement. Si MPP'M' est un trapèze, c'est parce que MM' est assimilé à une ligne droite; et si np est remplacé par y y c'est parce que ces deux droites, qui sont finies, diffèrent d'une quantité infiniment petite (M i si enfin MPP'M' est représenté par dk, c'est parce que la différentielle de Taire et son accroissement peuvent être substitués l'un à l'autre. En y regardant de près, nous retrouvons ainsi tous les éléments des démonstrations données antérieurement.

( ' ) On peut dire aussi que la substitution de y à np revient à substituer le rectangle MPP'H au trapèze MPP'M'. C'est à cette conclusion que nous arrivions au n» 66, et cela parce que le rectangle et le trapèze ne diffèrent entre eux que par un infiniment petit du second ordre.