SUITE DE LA MÉTHODE D'ASSIMILATION

APPLICATION A LA THÉORIE DES œNTACTS ET AU CERCLE

OSCULATEUR.

80. Dans la méthode d'assimilation, on dit que deux courbes qui ont un contact de Tordre n peuvent être considérées comme ayant n éléments consécutifs communs ou n H- 1 points communs infiniment voisins. C'est la généralisation du point de vue relatif au contact simple ou contact du premier ordre, d'après lequel la courbe est considérée comme ayant un élément commun avec sa tangente.

Il importe d'expliquer l'origine et le véritable sens de cette locution.

On sait que le contact de deux courbes est appelé de Tordre n, lorsque la différence des ordonnées relatives à un accroissement infiniment petit de l'abscisse est une quantité infiniment petite de Tordre n 4- 1 ; et cette condition est elle-même remplie lorsque les fonctions des deux courbes, et leurs dérivées jusqu'à Tordre n inclusivement, sont égales

oUacune à chacune, ou, ce qui revient au même, lorsqu'on a la suite de relations :

,. At/ ,. AY Imi--^ =::lim-— , Aa? Aa?

,. A*i/ ,. A^Y hmj^lim— ,

,, A»i/ -. A^Y lim--f = lmi-— -j,

,. A'»v V A«Y Ax'* Aj7

y et Y désignant respectivement les ordonnées des deux courbes.

Or prenons sur Tune des deux courbes, à partir du point de contact rr, y, un second point dont les coordonnées soient a; + Aa? et 1/ + Ay. La différence Ay représente la différence des ordonnées de ces deux points, et la dérivée ^

Al/ OU lini^ correspond à la considération de deux points de

la courbe.

Si je donne à l'abscisse un nouvel accroissement Aa?, il en résultera un nouvel accroissement pour l'ordonnée, et •un troisième point sera déterminé sur la courbe. Soit Aya ce nouvel accroissement de y. La différence entre le premier accroissement de l'ordonnée et celui-ci sera, d'après les notations adoptées dans le Calcul infinitésimal, représentée

par A* y; et la dérivée ^ ou lim^-f s'introduit ainsi à la

suite de la considération de trois points de la courbe.

Si je fais encore croître Tabsoisse de la même quantité, j'aurai un nouvel accroissement Aya de l'ordonnée et un

quatrième point sur la courbe. Entre le deuxième, le troisième et ce dernier, je pourrai former une nouvelle différence seconde A* y,, comme j'en ai formé une entre le premier, le deuxième et le troisième point. La différence entre ces deux différences secondes est représentée par A^ y ; en sorte que

d^ il A'îy

la dérivée 3-7 ou lim —4 s'introduit à la suite de la consi-

dération de quatre points de la courbe.

En continuant de raisonner ainsi, on voit que la dérivée

-i-| implique, pour ainsi dire, qu'on envisage sur la courbe

ru- 1 points consécutifs, obtenus en augmentant chaque fois l'abscisse de la quantité Aor.

D'après cela, quand on suppose que les courbes ont un contact de l'ordre n, ou que les n premières dérivées de leurs fonctions sont égales chacune à chacune, on se trouve dans le même cas que si ces deux courbes avaient n -h 1 points consécutifs communs; ce qui signifie que si ces nn- 1 points étaient commims en effet, les dérivées auxquelles pourrait donner lieu la considération des différences de divers ordres de leurs coordonnées seraient entre elles dan^ les mêmes relations que lorsqu'on suppose simplement l'existence d'un seul point commun et un contact de l'ordre n en ce point. C'est dans ce sens uniquement qu'on doit entendre que deux courbes ont n 4- 1 points ou n éléments communs.

D'après ces locutions, on définit la courbe osculatrîce d'une courbe donnée en disant que c'est celle qui a avec elle autant de points communs qu'il y a de constantes ou de paramètres arbitraires dans son équation. La ligne droite a donc, ainsi que nous l'avons déjà dit, un seul élément conunun avec une courbe, et le cercle osculateur en a deux.

81. Les personnes qui débutent dans Tétude de l'Analyse, et qui entendent dire que deux courbes dont le contact est de Tordre n ont n -h 1 points communs infiniment rapprochés, conservent parfois des idées très vagues et souvent même fausses de cette manière d'exprimer le phénomène. Aussi croyons -nous devoir donner encore quelques explications.

Au fond, deux courbes ne peuvent pas plus avoir n -h 1 points communs, qu'il n'est possible à la droite tangente d^en avoir deux et au cercle osculateur d'en avoir trois. Quelque intime que soit le contact, les lignes se touchent toujours réellement par un point unique ( * ) . Ce qui distingue le contact de la simple rencontre, et, parmi les divers contacts, ce qui en marque le degré, c'est la manière dont les lignes se comportent dans les environs du point commun. D'une manière absolue et en prenant les choses à la lettre, l'expression H éléments communs à deux lignes ne signifie rien. Dans une ligne il n'y a pas d'éléments indivisibles^ , conçus comme réunissant deux points réellement consécutifs ou entre lesquels aucun autre point ne pourrait se trouver. Il y a des arcs plus ou moins étendus, comprenant toujours, malgré leur extrême petitesse, un nombre infini de points géométriques. La coïncidence de deux lignes, le long d'un élément, même réduit au-dessous de toute grandeur imaginable, impliquerait leur parfaite identité dans toute leur étendue ; car deux lignes ne peuvent jamais avoir qu'un nombre limité de points communs, en rapport avec le

(* ) Ce point de vue étaitnettement accusé dans la Géométrie ancienne, où l'on définissait lignes tangentes celles qui se touchent par un seul point. Cette définition, bien que devenue insuffisante par suite des travaux de généralisation réalisés par la Géométrie moderne, n'en est pas moins le véritable germe de toute notion juste du contact.

304 THOISIÈME PARTIE.

nombre de paramètres de leurs équations. Lors donc qn'on parle d'un élément commun à deux lignes, cela signifie simplement que, dans un calcul de limite, on pourra remplacer une portion inQniment petite d'une de ces lignes par la portion correspondante de l'autre, parce que la valeur de la limite n'en est point changée.

82. Passons à la recherche du cercle osculateur d'une courbe donnée AB [fig. 16).

D'après ce que nous avons dit au commencement de ce Chapitre, le cercle a trois points consécutifs communs avec la courbe, à partir du point de contact M. Si donc nous donnons à x des accroissements égaux PP', P'P', les points correspondants M', M' de la courbe appartiendront au cercle en même temps que le point M. Le centre C sera déterminé par la rencontre des perpendiculaires IC, l'C, menées respectivement par le milieu des éléments MM', M' M". La valeur du rayon s'ensuit nécessairement : car la figure ICI' étant un secteur circulaire, le rayon est égal à l'arc divisé par l'angle au centre ; donc IC ou R a pour expression

arc il'

TT) • Mais ir est égal à la demi-somme de MM' -+- M'M",

angle ICI

ou à la demi-somme de 2^5, ou à ds. Quant à Tangle ICI', il est égal à l'angle MCM', ou à l'angle formé par les deux tangentes menées en M et M', ou enfin à la différentielle dV de l'angle formé par la tangente avec l'axe des abscisses. On a en conséquence

r, ds \ d\

d\ R ds'

expression dans laquelle il ne reste plus qu'à remplacer dW et ds par leurs valeurs connues.

En se reportant aux Chapitres précédents, on constate sans peine : 1** que la formule est identique à celle trouvée au n** 73 ; 2° que la manière même d'obtenir ce rayon, dans la présente méthode, prouve clairement son identité avec le rayon de courbure, puisqu'on exprime qu'il est égal à un arc infiniment petit de la courbe divisé par l'angle des tangentes menées aux extrémités de cet arc.

La même construction apprend encore que le centre du cercle osculateur peut être regardé comme déterminé par l'intersection de deux normales à la courbe infiniment voisines; ce qui signifie que deux normales étant menées à deux points de la courbe, et ces normales étant ensuite rapprochées de plus en plus l'une de l'autre, leur point de rencontre tend à passer par le centre du cercle osculateur.

La marche que nous venons de suivre pour résoudre ce problème, et qui nous a conduit très simplement au résultat, emprunte évidemment toute sa rigueur aux principes déjà démontrés sur les infiniment petits. Nous avons supposé en effet : 1** que les points de la courbe appartenaient au cercle osculateur, ou que l'angle de deux tan-

gentes consécutives de la courbe ne différaient point de Tangle des tangentes correspondantes du cercle; 2* que Tare de la courbe ne différait point de l'arc de la circonférence; 3* que les accroissements de la longueur de la courbe e% de Tangle formé par la tangente avec l'axe des abscisses étaient égaux à leurs différentielles. Ces diverses hypothèses ne seraient pas légitimes, si Ton n'avait pas préalablement établi les ordres comparatifs de grandeur des diverses quantités considérées, et si l'on n'avait pas démontré que deux infiniment petits, dont la différence est d'un ordre supérieur, peuvent être substitués l'un à l'autre dans un calcul de limites,

.83. Il est aisé de voir que le raisonnement ne s'appliquerait plus si, au lieu du cercle osculateur, il s'agissait d'un cercle tangent quelconque. En effet, ce raisonnement s'appuie, comme nous venons de le dire, sur ce que l'angle des deux tangentes consécutives de la courbe peut être remplacé par l'angle des tangentes correspondantes du cercle. Or, si nous considérons le triangle infinitésimal ayant pour sommet le point de rencontre des deux tangentes consécutives de la courbe, et pour base la partie de l'ordonnée du second point interceptée par la tangente du premier, cette base est un infiniment petit du second ordre par rapport aux autres côtés du triangle. Par conséquent Tangle des tangentes est un infiniment petit du premier ordre. Si l'on envisage le triangle analogue formé par les tangentes du cercle, la base de ce triangle différera de celle du précédent de toute la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe et le cercle. Lorsque le cercle est simplement tangent, cette différence est du second ordre ou de l'ordre de la base elle-même; et l'angle des tan-

gentes du cercle diffère de l'angle des tangentes de la courbe par un infiniment petit du même ordre que ces angles. La substitution n'est donc pas possible. Mais lorsque le cercle est osculateur, la portion d'ordonnée comprise entre lui et la courbe est du troisième ordre, d'où il suit que la différence des angles est d'un ordre supérieur à Tordre de ces angles eux-mêmes. Dès lors ils peuvent être remplacés l'un par l'autre ; et c'est ce qu'implique la démonstration précédente.

Cette distinction entre les conclusions qu'on peut tirer, selon qu'on est en présence d'un cercle osculateur ou d'un cercle simplement tangent, nous montre quelle attention il faut apporter à se servir de la méthode d'assimilation. On doit être en garde contre le danger de s'appuyer sur de fausses assimilations, dans le cours du raisonnement, et l'on n'y échappe qu'en ayant toujours présent à l'esprit l'ordre exact de grandeur des divers infiniment petits auxquels on a affaire.