MOUVEMENT QUELCONQUE

84. La coïncidence des mouvements donne lieu à des assimilations analogues à celles du contact des courbes.

Quand deux mouvements rectiHgnes variés ont une coïncidence de Tordre n, c'est-à-dire quand les espaces parcourus au bout d'une durée infiniment petite n'ont entre eux qu'une différence de l'ordre n -h 1, on dit que ces mouvements se confondent ou sont assimilables l'un à l'autre pendant n instants consécutifs. Les considérations qui motivent cette locution sont de même nature que celles qui font l'objet du n^ 80; aussi croyons-nous inutile de les reproduire.

Le mouvement oscillateur d'un mouvement donné est celui qui se confond avec lui pendant le plus grand nombre possible d'instants consécutifs. Un mouvement varié est donc regardé comme se confondant :

Pendant un instant, à partir du point de coïncidence,

avec le mouvement oscillateur du premier ordre, c'est-àdire avec le mouvement uniforme qui a pour vitesse celle du mouvement varié au point de coïncidence ;

Pendant deux instants, à partir du point de coïncidence, avec le mouvement osculateur du second ordre, c'est-àdire avec le mouvement uniformément varié qui a pour force constante celle qui sollicite le mobile au point même de la coïncidence ;

Et ainsi de suite pour un nombre d'instants de plus en plus grand.

Le mouvement osculateur du second ordre d'un mouvement curviligne quelconque est, d'après ce qu'on a vu au n"* 75, le mouvement parabolique; on le considère comme se confondant avec lui pendant deux instants consjécutifs. En d'autres termes, un mouvement curviligne est assimilé, pendant deux instants consécutifs, au mouvement qui serait engendré par une vitesse initiale et par une force constante en grandeur et en direction.

85. Gela posé, occupons-nous de déterminer à un moment donné la grandeur des composantes tangentielle et normale de la force variable qui produit un mouvement curviligne quelconque.

Soit AB (fig. 17) la trajectoire parcourue par le mobile, et M le point pour lequel il s'agit de trouver les composantes de la force motrice. Soient MM' et M' M" les éléments décrits à partir de ce point, pendant deux instants consécutifs dt.

Le mouvement peut être regardé comme uniforme le long de l'élément MM', en sorte qu'on a

__ MM' ds "" dt ~~ dt

De Freycinet. — Anal, infin, 14

Si la force cessait d'agir au delà du point M', le mouvement se continuerait uniformément sur M'T, prolongement de MM'. C'est précisément l'influence de la force, pendant l'instant suivant, qui fait parcourir au mobile l'élément M'M^ distinct de la droite M' T.

Fig. 17.

Formons le rectangle M'KM''I et concevons la force décomposée suivant la tangente M'T et la normale M' G. La longueur M'K représentera l'espace parcouru sous l'influence de la vitesse V et de la composante tangentielle T, et la longueur M'I représentera l'espace parcouru sous l'action de la composante normale Q.

La force motrice étant constante pendant ce temps infiniment petit, les composantes le sont aussi, et l'on a :

V Pour le mouvement rectiligne sur M'T,

dt ~ dt''

2° Pour le mouvement rectiligne sur M' G,

Or, dans le triangle rectangle M'M"D, formé par le diamètre du cercle osculateur et les cordes M'M'' et M''D, le

segment M'I est égal à tfttt- ou à ^; on en déduit

Ces valeurs de T et de Q, déterminées pour le point M', conviennent également pour le point M; attendu que, ces points étant infiniment voisins, la force est demeurée constante dans l'intervalle,

86. Voilà certes, comme nous Tannoncions à la fin du n° 76, une démonstration beaucoup plus simple et plus rapide que celle qu'on obtient par la méthode ordinaire. Mais au risque de trop nous répéter, qu'on nous permette de faire ressortir encore la complète identité qui existe au fond entre cette démonstration et celle du numéro précité.

(*) L'équation de tout mouvement rectiligne produit par une force constante, et sans vitesse initiale, est

d'où

ç étant la force, e l'espace parcouru et t le temps employé. Or, dans le mouvement suivant la normale M' G, l'espace parcouru est M'I, le temps est dt, et il n'y a pas de vitesse initiale au point de départ M', dans le sens de M' G : donc

'>M'I ^ dt'

Si nous avons pu regarder la force comme constante pendant un temps infiniment petit, c'est parce que Tespace parcouru sous l'action d'une pareille force ne diffère que par un infiniment petit d'ordre supérieur de l'espace parcouru sous l'action d'une force constante; et si nous avons pu regarder M' M'' comme appartenant au cercle osculateur, c'est parce que l'arc de courbe ne diffère de l'arc de cercle que par une quantité infiniment petite relativement à ces arcs eux-mêmes. Si enfin nous avons pu remplacer l'accroissement de l'arc par sa différentielle, et considérer M' M" comme étant aussi bien une corde du cercle qu'une portion de la circonférence, c'est toujours parce que ces hypothèses • introduisent des erreurs d'un tel ordre de petitesse, que les valeurs des limites n'en sont point altérées.

87. Une des choses qui étonnent le plus les commençants, dans le problème précédent, c'est la diversité des points de vue sous lesquels on envisage le phénomène, selon les quantités qu'on se propose de calculer. Ainsi, quand il s'agit d'obtenir la vitesse, on admet que le mouvement est uniforme ; quand on évalue la composante tangentielle, on le regarde comme rectiligne et uniformément varié; enân quand on cherche la composante normale, on suppose que la direction varie d'un instant à l'autre. Ces diverses hypothèses sont marquées dans les formules dont

MM' nous avons fait usage : 1** Nous avons écrit V= --tt-j ce

qui est la même relation qu'on obtiendrait dans le cas où

MM' serait parcouru d'un mouvement uniforme; 2" nous

dY avons posé T = -7- j ce qui implique que l'accroissement

de la vitesse, engendré effectivement sur l'arc de courbe,

peut être considéré comme engendré sur la droite M'T;

Olf/T

3° nous avons admis = — ^ j ce qui implique que le

mouvement affecte une direction distincte de la tangente M'T, autrement M' I serait identiquement nul.

Il est facile de se rendre compte de la légitimité de chacune de ces hypothèses :

1** La vitesse étant exprimée par la limite du rapport de la longueur décrite au temps employé, on peut remplacer cette longueur par toute autre qui n'en diffère que par un infiniment petit du second ordre. On peut donc considérer MM' comme étant décrit avec une vitesse constante ;

2^ La composante tangentielle étant exprimée par la limite du rapport de l'accroissement de la vitesse sur la tangente à l'accroissement du temps, ou par la limite du rapport de la différence seconde de la longueur parcourue au carré du temps employé, on peut remplacer cette différence seconde par toute autre quantité qui n'en diffère que par un infiniment petit du troisième ordre. Or les éléments M' M" et M'K ont entre eux une différence du troisième ordre. On peut donc les remplacer l'un par l'autre, ou considérer le mouvement comme s'exerçant suivant la tangente ;

2M'I 3° La composante normale étant égale ^—fî-y ot M'I étant

par conséquent du second ordre, on ne pourrait remplacer M'I que par une quantité dont la différence avec M'I serait du troisième ordre. Or, si Ton supposait le mouvement dirigé suivant M'T ou suivant toute autre direction que M' M", cela reviendrait à annuler M'I ou à le remplacer par une quantité dont la différence serait du second ordre ; ce qui altérerait la valeur de la limite. Voilà pourquoi il est nécessaire de tenir compte du changement de direction

entre MM' et M' M" pour avoir la valeur de la composante normale (*).

( * ) On peut constater comment la démonstration tient compte de ce que c'est suivant la tangente et la normale, et non pas suivant d'autres directions, que la décomposition de la force accélératrice est supposée effectuée. Dans la recherche de la composante tangentielle,

d*s ce qui permet d'écrire T = -tj^ » ou ce qui permet de substituer l'arc

de courbe M' M" à la portion de la tangente M'K, c'est que ces éléments diffèrent entre eux seulement par un infiniment petit du troisième ordre; et si cette différence est telle, c'est parce que M*K est perpendiculaire à M'T, ou parce que la force motrice est décomposée suivant les directions de la tangente et de la normale. Si l'on adoptait toute autre direction que la normale, la différence entre les éléments de la courbe et de la tangente serait du second ordre, ce qui ne permettrait plus la substitution.