CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR L'ANALYSE

88. Si nous envisageons dans leur ensemble les considérations présentées dans les Chapitres précédents, nous pourrons nous rendre compte, plus exactement que nous ne Tavons fait au début de ce livre, de l'objet de la Méthode infinitésimale et de son véritable rôle dans l'Analyse.

L'objet de la Méthode infinitésimale est, comme nous l'avons déjà indiqué, de ramener à une application de Calcul différentiel ou intégral, c'est-à-dire à une pure afîaire d'Algèbre, le calcul des quantités qu'on ne sait pas exprimer directement en fonction des éléments connus de la question.

Pour y parvenir, on regarde ces quantités comme des limites de rapports ou des limites de sommes de termes infiniment petits.

Il faut ensuite donner à ces rapports et à ces sommes une forme analytique qui permette d'en calculer les limites par les procédés de la différentiation ou de l'intégration : ce qui conduit à chercher des relations entre les infiniment petits

qui forment les termes de ces rapports ou de ces sommes, et les éléments de la question.

Cette élaboration est entièrement fondée sur le principe de la substitution des quantités infinitésimales, d'après lequel on peut remplacer Tun par l'autre , dans un calcul de limites, deux infiniment petits qui ne diiOfèrent entre eux que par un infiniment petit d'ordre supérieur. Ce principe sert non seulement à faciliter rétablissement des relations, mais il est Tessence même de la méthode et la condition nécessaire de son efficacité (*).

Une des manières les plus commodes de faire usage du principe de substitution consiste à assimiler les infiniment petits qui peuvent être substitués l'un à l'autre. De telle sorte que sans montrer chaque fois, dans le cours des raisonnements, qu'on se borne à des applications légitimes de ce principe, on accepte d'avance comme valables les relations obtenues à l'aide des infiniment petits plus simples auxquels les autres ont été assimilés. Mais si une pareille marche est souvent plus rapide, il faut se garder de croire qu'elle soit, au fond, distincte de la précédente, et qu'on puisse l'en rendre indépendante. Elle n'en est, au contraire, que la conséquence et elle en tire toute sa légitimité.

(') En effet, toute l'utilité des considérations infinitésimales vient évidemment de ce que les infiniment petits dont la somme ou le rapport a pour limite la quantité cherchée ne sont pas des parties intégrantes de cette quantité, mais en diffèrent, au contraire, par essence et nécessairement. Si, par exemple, au lieu de considérer un arc de courbe comme la limite de la somme des cordes inscrites, on se bornait à le décomposer en une infinité de parties, chacune de ces parties, étant de même nature que l'arc lui-même, offrirait des difficultés identiques pour être exprimée en fonction des éléments connus de la question. On n'échappe à ces difficultés que par la possibilité de substituer à ces parties d'arc d'autres infiniment petits, d'une nature différente, tels que les cordes inscrites, pour lesquels la recherche des relations ne rencontre pas les mêmes obstacles.

89. Lorsque Leibnitz fit connaître sa nouvelle Analyse, il la présenta à peu près sous la forme de la méthode d'assimilation. Ainsi, les courbes étaient considérées par lui comme des polygones d'un nombre infini de côtés infiniment petits ; les mouvements variés dbnmie une succession de mouvements uniformes ; les surfaces courbes comme des polyèdres, etc. En un mot, les quantités étaient, pour ainsi dire, décomposées en éléments d'une nature plus simple, dont, par conséquent, les relations devaient être plus faciles à saisir. Cette méthode de décomposition (*) était d'ailleurs basée, comme elle doit l'être, sur le principe de la substitution des quantités. Mais ce principe était plutôt affirmé que démontré ; et l'on n'indiquait pas la cause véritable de sa rigueur, qui provient de ce que la quantité qu'il s'agit, en dernier ressort, de déterminer, est une limite, c'est-à-dire une quantité fixe, dont la valeur ne peut être influencée par les altérations infiniment petites des divers termes figurant dans l'expression qui sert à la calculer. Il est permis de croire que l'illustre inventeur lui-même ne s'en rendait pas un compte parfaitement exact; car, pressé par les objections qui lui venaient de divers côtés, il répondait qu'il traitait les infiniment petits comme des incomparables, et qu'il les négligeait vis-à-vis des quantités finies comme des grains de sable par rapport à la mer [^). Aussi ne doit-on pas s'étonner des controverses qui s'engagèrent pendant longtemps sur

(*) La dénomination d'Analyse infinitésimale (en grec àvaXuw, analyser, décomposer) caractérise parfaitement cette nature de procédé.

(•) Carnot a dépeint cette situation dans le passage suivant;

« Leibnitz, qui le premier donna les règles du Calcul infinitésimal, l'établit sur ce principe : qu'on peut prendre à volonté Tune pour l'autre deux grandeurs finies qui ne diffèrent entre elles que d'une quantité infiniment petite. Ce principe avait l'avantage d'une extrême simplicité et d'une application très facile. Il fut adopté comme une

cette question, et qui contribuèrent à retarder, par les opinions extrêmes qu'elles firent naître, rétablissement des bases véritables de l'Analyse.

90. Parmi les géomètres, les uns, fidèles à l'idée première de Leibnitz , conservèrent sa méthode et cherchèrent à en éclairer les bases pour la mettre à l'abri de toute attaque. Mais ce qui a manqué à leur élaboration, c'est de faire reposer le principe de la substitution des quantités sur la considération des limites.

Le dernier terme des efforts de cette école a abouti à l'œuvre si connue de Carnot : Réflexions sur la métaphysique du Calcul inflnitésimaL Cet écrit, remarquable à plus

espèce d^axiome, et Ton se contenta de regarder ces quantités infiniment petites comme moindres que toutes celles qui peuvent être appréciées ou saisies par l'imagination. Bientôt ce principe opéra des prodiges entre les mains de Leibnitz lui-même, des frères Bernoulli, de L'Hôpital, etc. Cependant il ne fut pas à l'abri des objections; on reprocha à Leibnitz : l" d'employer l'expression de quantités infiniment petites sans l'avoir préalablement définie ; 2" de laisser douter, en quelque sorte, s'il regardait son calcul comme absolument rigoureux, ou comme une simple méthode d'approximation.

» L'illustré auteur et les hommes célèbres qui avaient adopté son idée se contentèrent de faire voir, par la solution des problèmes les plus difficiles, la fécondité du principe, l'accord constant de son résultat avec ceux de l'Analyse ordinaire, et l'ascendant qu'il donnait aux nouveaux calculs. Ces succès multipliés prouvaient victorieusement que toutes les objections n'étaient que spécieuses; mais ces savants n'y répondirent point d'une manière directe, et le nœud de la difficulté resta. Il est des vérités dont tous les esprits justes sont frappés d'abord, et dont cependant la démonstration rigoureuse échappe longtemps aux plus habiles.

» M. Leibnitz, dit d'Alembert, embarrassé des objections qu'il » sentait que l'on pouvait faire sur les quantités infiniment petites, » telles que les considère le Calcul différentiel, a mieux aimé réduire » ses infiniment petits à n'être que des incomparables ; ce qui ruine- » rait l'exactitude géométrique des calculs. »

{Réflexions sur la métaphysique du Calcul infinitésimal, p. 32, 5« édition.)

d'un titre , a fait véritablement époque dans l'histoire de l'Analyse : aussi mérite-t-il une mention toute spéciale.

Carnot fonde la rigueur de la méthode leibnitzienne sur une conception très ingénieuse, généralement connue sous le nom de principe de la compensation des erreurs. Son argumentation repose essentiellement sur ce que les erreurs, s*il Y en avait dans le résultat final, seraient nécessairement de même nature que les quantités infiniment petites qui les ont engendrées. Or, ces quantités, disparaissant toujours par le fait même delà dilFérentiation ou de l'intégration, il n'en subsiste aucune trace dans les équations finales. Cellesci sont donc nécessairement et rigoureusement exactes.

Une telle démonstration, bien que vraie au fond, n'est pas satisfaisante pour l'esprit, car elle semble confondre le signe de r effet avec la cause elle-même. On voit bien que, si les quantités infiniment petites ont disparu, le résultat ne peut être erroné, mais on ne voit pas pourquoi ces infiniment petits disparaissent inévitablement, et pourquoi en les supprimant on rétablit l'exactitude des relations.

C'est le point qu'éclaire supérieurement la considération des limites. Car s'il est vrai que la limite, d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits n'est pas altérée par la présence d'infiniment petits d'ordres supérieurs, on aperçoit très nettement que le résultat final, qui n'est autre que la valeur même de la limite, ne saurait en garder de trace. Dès lors il est indifférent de conserver momentanément ou de supprimer tout de suite ces infiniment petits inutiles, destinés, qu'on le veuille ou non. à disparaître des relations dernières.

Les équations appelées imparfaites par Carnot sont donc, à proprement parler, des équations d'attente ou de transition^ qui sont rigoureuses en tant qu'on ne les fera corvir

qu'au calcul des limites, et qui seraient, au contraire, absolument inexactes, si les limites ne devaient pas être prises effectivement. Il suffit d'avoir présente à l'esprit la destination définitive des calculs, pour n'éprouver aucune incertitude sur la valeur des relations par lesquelles on passe. Il faut voir dans chacune d'elles, non pas ce qu'elle paraît exprimer actuellement, mais ce qu'elle exprimera plus tard, quand on prendra les limites.