On nous fera remarquer peut-être que Garnot s'est

bien gardé de présenter la solution en ces termes, et qu'il ne s'est pas borné à la recommandation, pour ainsi dire machinale, de supprimer purement et simplement, dans les équations dernières, les infiniment petits qui se seraient introduits dans le cours de l'élaboration. Réduit à ces termes, un expédient aussi peu philosophique n'aurait pu contenter un esprit comme le sien. Mais il est facile de voir que les règles tracées par l'illustre géomètre, dépouillées des habiletés d'argumentation dont elles sont revêtues, reviennent sensiblement à ce que nous avons indiqué. Telle est, en effet, la suite de l'exposition de Garnot, qui me paraît se résumer dans les trois points suivants :

1° « Corollaire IV. — Toute quantité qu'on est maître de » supposer aussi petite qu-on le veut peut être négligée comme » absolument nulle, en comparaison de toute autre quantité » qui ne peut être, comme la première, supposée aussi petite » qu'on le veut, sans que les erreurs qui peuvent naître ainsi » dans le cours du calcul puissent en affecter le résultat, du » moment que toutes les quantités arbitraires en seront éli- » minées.

» En effet, en négligeant, comme absolument nulles, » les quantités qui peuvent être supposées aussi petites

» qu'on le veut, lorsqu'elles se trouvent ajoutées à d'autres » qui ne peuvent de même être supposées aussi petites » qu'on le veut, ou qu'elles s'en trouvent retranchées, il est » évident que les erreurs qui pourront en naître dans le » cours du calcul ou en afifecter le résultat pourront être » pareillement supposées aussi petites qu'on le voudra; » donc il restera dans ce résultat quelque chose d'arbi- » traire, ce qui est contre Thypothèse, puisque toutes les » quantités arbitraires sont supposées entièrement éliminées » (p. 30, 5* édition). »

Carnot est ainsi conduit à distinguer des équations qu'il nomme imparfaites : « J'appelle , dit-il , équation impar- » faite toute équation dont l'exactitude rigoureuse n'est pas » démontrée, mais dont on sait cependant que l'erreur, » s'il en existe une, peut être supposée aussi petite qu'on » le veut; c'est-à-dire telle que, pour rendre cette équa- » tion parfaitement exacte, il suffit de substituer aux » quantités qui y entrent, ou seulement à quelques-unes « d'entre elles, d'autres quantités qui en diffèrent infini- » ment peu ip. 37). »

2** Carnot, tout en prenant pour valeur de la différentielle la quantité que nous avons prise nous-même, c'est-àdire le produit de la dérivée par l'accroissement de la variable indépendante, regarde cette différentielle comme représentant la différence de la fonction, hypothèse qui consiste à négliger les infiniment petits d'ordres supérieurs au premier qui entrent dans l'expression de cette différence, tt On entend, dit-il, par le mot différentielle la différence de » deux valeurs successives d'une même variable (dépen- » dante ou indépendante), lorsque l'on considère le système » auquel elle appartient, dans deux ou plusieurs états )) consécutifs, dont l'un est regardé comme fixe et les

» autres comme se rapprochant continuellement et simul- )» tanément du premier jusqu'à en différer aussi peu qu'on » le veut (p. 52). »

Il suit de là que toute équation dans laquelle la différentielle figure comme expression de la différence est par là même une équation imparfaite, de la nature de celles précédemment définies.

3® Dans la résolution d'un problème, il arrivera, d'une part, que les hypothèses faites sur la nature des quantités, dans le but de simplifier la mise en équation, fourniront immédiatement des équations imparfaites, dans lesquelles figureront des expressions de différentielles; et, d'autre part, que la substitution des valeurs de ces différentielles, calculées d'après les équations données, apportera une autre cause d'imperfection. Les équations doublement imparfaites ainsi obtenues redeviennent parfaites par la disparition des erreurs qui s'y compensent. Cette marche peut être observée dans les divers problèmes traités par l'auteur : par exemple , dans celui de la recherche de la sous-tangente de la courbe qui a pour équation (n** 72 de l'Ouvrage cité, p. 74) :

La courbe étant considérée comme un polygone d'un nombre infini de côtés, on obtient, en suite de cette hypothèse, une première expression imparfaite de la sous-

doc tangente, Vj-y dans laquelle dy représente une différence.

D'autre part, la différentiation de l'équation de la courbe

fournit pour -p une valeur

(m H- n] ay"^-^"'-^ m[a — xy^x^~'^ — nx'"'[a — xy^~^^

qu'on doit regarder aussi comme imparfaite, puisque dy^

qui est une différence, s'y trouve calculée comme si elle

était simplement égale au produit de la dérivée par Tac-

dir croissement de la variable. Cette valeur de -f- ? substituée

dy

dans Texpression de la sous-tangente, donne

sous-tangente

7n(a — x) — nx

c( équation, dit Garnot, qui, étant dégagée de toute considé- » ration de l'infini, est rigoureusement exacte, et me donne » la valeur cherchée de la sous-tangente (p. 75) ».

C'est à de semblables résultats que s'applique justement notre objection. Car pourquoi les erreurs se compensentelles? Nous voyons bien que cela a lieu, mais nous ne discernons pas par quelle cause.

Cette difficulté avait été profondément sentie par Lagrange, et c'est ainsi qu'il la met en relief dans sa Théorie des fonctions analytiques :

« Il me semble que, comme dans le Calcul différentiel, >' tel qu'on l'emploie, on considère et Ton calcule, en effet, )) les quantités infiniment petites ou supposées infiniment y> petites elles-mêmes; la véritable métaphysique de ce )) calcul consiste en ce que l'erreur résultant de cette )) fausse supposition est redressée ou compensée par celle » qui naît des procédés mômes du calcul, suivant lesquels » on ne retient dans la différentiation que les quantités » infiniment petites du même ordre. Par exemple, en re- » gardant une courbe comme un polygone d'un nombre » infini de côtés chacun infiniment petit, et dont le pro- » longement est la tangente de la courbe, il est clair qu'on » fait une supposition erronée; mais l'erreur se trouve

» corrigée dans le calcul par romission qu'on y fait des » quantités infiniment petites. C'est ce qu'on peut faire voir » aisément dans des exemples, mais dont il serait pent- » être difficile de donner une démonstration générale. »

92. Tandis que l'école leibnitzienne admettait les infiniment petits et négligeait les limites, d'autres géomètres, au contraire, empruntaient les limites et rejetaient absolument les infiniment petits, obéissant en cela au sentiment que Lagrange exprimait plus tard : « Mais il » faut convenir, dit-il dans sa Théorie des fonctions ana- » lytiques^ que cette idée, quoique juste en elle-même, » n'est pas assez claire pour servir de principe à une » science dont la certitude doit être fondée sur l'évidence, et » surtout pour être présentée aux commençants. » Ces géomètres édifièrent donc le Calcul infinitésimal sur la notion exclusive des limites ; et, dans les rapports ou les sommes de quantités convergeant vers zéro, ils ne virent plus que les limites mêmes de ces rapports ou de ces sommes, sans vouloir considérer aussi, individuellement, les termes qui les composent. Dans un pareil système, l'expression

^ ) par exemple, ne représente rien, et c'est l'exprès-

sion lim— ^^^ — qui seule a une signification. A plus forte

raison les termes ^f(x) et Aa?, qui figurent dans le rapport, ne peuvent-ils jamais être envisagés séparément. En un mot, on a des dérivées et des intégrales (limites de rapports ou de sommes), mais on n'a pas d'accroissements infi-r niment petits. Un tel point de vue est incontestablement rigoureux, mais offre un inconvénient capital : celui de se prêter fort mal à la mise en équations des problèmes. C'est

ce dont il est aisé de se rendre compte en examinant les procédés que nous avons déduits de la considération directe des infiniment petits. La faculté, évidemment si commode, de remplacer à tout instant, dans le calcul, un infiniment petit quelconque par un autre qui n'en diffère que d'un infiniment petit d'ordre supérieur, cette faculté, dis-je, échappe complètement (*)• On peut dire que la méthode des limites avait perdu en simplicité ce qu'elle avait gagné en rigueur sur sa rivale.

93. La divergence des points de vue que nous venons de signaler était due à la démarcation profonde obstinément établie entre la notion de limite et celle d'infiniment petit. Et vraiment on s'en étonne quand on pense combien est étroite la connexion naturelle de ces deux conceptions. Gomment, en effet, concevoir une limite sans un infiniment petit correspondant? Puisqu'une limite est une valeur fixe dont s'approche une quantité variable, la différence entre cette limite et la variable n'est-elle pas une quantité décroissant indéfiniment et pouvant être rendue aussi petite qu'on le

( ' ) M. Auguste Comte, bien que placé à un point de vue très différent du nôtre, — puisqu'il repousse la conception des infiniment petits, — n'en a pas moins caractérisé les inconvénients dont nous parlons. « D'un autre côté, dit-il, elle (la notion exclusive des limites) r. est bien loin d'offrir, pour la solution des problèmes, d'aussi puis- » santés ressources que la méthode infinitésimale. Cette obligation » qu'elle impose de ne considérer jamais les accroissements des gran- » deurs séparément et en eux-mêmes, ni seulement dans leurs rap- » ports, mais uniquement dans les limites de ces rapports, ralentit » considérablement la marche de l'intelligence pour la formation » des équations auxiliaires. On peut même dire qu'elle gêne beau- » coup les transformations purement analytiques. Aussi le calcul » transcendant, considéré séparément de ses applications, est-il loin * d'offrir dans cette méthode l'étendue et la généralité que lui a impri- M mées la conception de Leibnitz ». [Cours de Philosophie positive, t. !•% p. 189.)

De Freycinet. — Anal, infin. 15

veut, c'est-à-dire un infiniment petit dans la véritable acception du mot? Et encore, si Ton considère la limite du rapport de deux quantités variables convergeant vers zéro, comment songer à cette limite sans songer en même temps aux infiniment petits qui forment les termes du rapport? Inversement, comment avoir la notion d'un infiniment petit sans avoir celle de deux quantités dont il serait la différence, ou même sans concevoir la limite posée à cette décroissance indéfinie, limite qui est ici zéro?

Aussi n'est-ce pas sans surprise que nous avons vu un des plus éminents penseurs de ce siècle maintenir entre les deux conceptions une barrière infranchissable, puisqu'il admet l'une comme rigoureuse et repousse l'autre comme essentiellement fausse. « Quand on considère, dit-il, en elle- » même, et sous le rapport logique, la conception de Leibï) nitz, on ne peut s'empêcher de reconnaître avec Lagrange » qu'elle est radicalement vicieuse, en ce que, suivant ses » expressions, la notion des infiniment petits est une idée » fausse, qu'il est impossible, en effet, de se représenter » nettement, quoiqu'on se fasse quelquefois illusion à cet » égard. L'Analyse transcendante, ainsi conçue, présente, à i> mes yeux, cette grande imperfection philosophique, de » se trouver encore essentiellement fondée sur ces principes )) métaphysiques dont l'esprit humain a eu tant de peine à » dégager toutes ses théories positives. Sous ce rapport, on » peut dire que la Méthode infinitésimale porte vraiment » l'empreinte caractéristique de l'époque de sa fondation » et du génie propre de son fondateur ( M » •

94. Au fond, les motifs des répugnances manifestées contre les infiniment petits se résument dans cette pensée

(*) Auguste Colite, Pliilosophie positive.

de Lagrange, qu'on a « le grand inconvénient de considérer » les quantités dans l'état où elles cessent, pour ainsi dire, » d'être quantités » ; autrement dit, les infiniment petits ' n'existent pas. Il me paraît qu'il y a là un malentendu. Veut-on parler des quantités naturelles, ou de Tobjet de nos conceptions rationnelles ? Si Ton entend que dans la nature il n'y a pas d'infiniment petits, c'est incontestable; tout ce qui existe est déterminé et par conséquent fini. Mais, à ce point de vue, il n'y a pas non plus de quantité variable ; une quantité, par cela seul qu'elle est, a une valeur actuelle précise. Notre esprit seul créé la notion de variable, en rapprochant les grandeurs de quantités voisines et les regardant comme des valeurs successives d'une même quantité. La notion de variable n'est pas plus légitime que celle d'infiniment petit, et il faut les admettre ou les repousser toutes les deux.

C'est en rendant aux limites et aux infiniment petits leur connexité naturelle, qu'on arrive à constituer une méthode simple et rigoureuse : simple quant à ses procédés, rigoureuse quant à ses bases.