APERÇU DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE

95. On remarquera que, dans cet exposé des diverses phases de l'Analyse infinitésimale, nous n'avons pas parlé de la méthode de Lagrange, qui occupe pourtant une si grande place dans Thistoire des Mathématiques. Cette omission est volontaire. Une semblable méthode ne pouvait, en effet, faire partie d'une exposition de l'Analyse infinitésimale proprement dite, puisqu'elle a précisément pour objet de rejeter toute espèce d'idée de l'infini, et d'y suppléer par des considérations purement algébriques.

Ce grand géomètre, préoccupé des difficultés soulevées par l'analyse leibnitzienue, et désireux d'y mettre un terme, repoussa à la fois la notion des limites et celle des infiniment petits, comme devant rester étrangères à l'esprit de l'Analyse, laquelle, disait-il, « ne doit avoir d'autre méta- » physique que celle qui consiste dans les premiers prinï) cipes et dans les premières opérations du calcul ».

Il est visible néanmoins que l'idée des limites, et par suite celle des infiniment petits, qui n'en est que la reproduction

SOUS un autre aspect, loin d*être introduite artificiellement dans le calcul, est suggérée par la nature môme des choses, et qu'il ne nous appartient pas de la rejeter. Nous Favons reconnu tout à Theure pour les infiniment petits : la notion en est aussi légitime que celle de variable. J'en dirai autant des limites. On les retrouve au fond de nos conceptions les plus essentielles. Sans elles, par exemple, comment définir la vitesse, dont l'idée, plus ou moins confuse, existe dans tous les esprits? Je crois impossible de concevoir la vitesse du mouvement varié autrement que comme limite du rapport de Tespace parcouru au temps employé à le parcourir, à mesure que cet espace et ce temps diminuent indéfiniment ( * ). En vain a-t-on essayé de se passer de la notion de limite, en appelant vitesse d'un mouvement varié la vitesse du mouvement uniforme qui s'établirait, si toutes les forces motrices cessaient subitement leur action. Une telle définition a le vice radical d'impliquer la connaissance de la loi d'inertie, dont elle doit rester indépendante : les lois ne

( * ) Voici comment je me suis exprimé à cet égard dans mon Traité

ds de Mécanique rationnelle (t. P', p. 10) : « La définition V — -tt

» (ou lim-^j n'est autre chose que la précision mathématique donnée

» à l'idée instinctive que chacun de nous se fait de la vitesse, en dehors

» de toute considération scientifique. Car si nous voulons apprécier

» la vitesse d'un objet en marche, notre premier sentiment nous porte

» à mesurer l'espace parcouru pendant un temps assez court, et à

» prendre le rapport de cet espace à ce temps pour expression de la

» vitesse. Nous concevons d'ailleurs très bien que nous avons une

» connaissance d'autant plus exacte de cette vitesse que l'espace

» mesuré a une moindre longueur. En sorte que, finalement, si nous

» voulons aller au fond des choses et voir en quoi consiste vérita-

» blement notre notion instinctive de la vitesse, nous reconnaissons

As » que c'est précisément la limite idéale du rapport -r-: dont nos

» observations matérielles cherchent à se rapprocher de plus en plus. »

230 TROISIBME PARTIE.

peuvent servir qu'à calculer les quantités et nullement à leâ définir.

96. Lagrânge a entièrement fondé sa méthode sur la théorie du développement des fonctions en séries (*).

Il commence par établir que toute fonction, algébrique ou transcendante, de la forme fix-^h), peut être développée en une série ordonnée suivant les puissances positives, entières et ascendantes de h, et qu'on a, dans tous les cas,

cette série étant terminée ou non, selon la nature de la fonction /*(a: -h /i).

Quant aux fonctions 9(0;), ^(jî), x(^)) • • • 9^ servent de multiplicateurs aux puissances de h^ et qui en sont indépendantes, Lagrânge démontre qu'elles se rattachent les unes aux autres par une loi constante, c'est-à-dire que ^1^(0;) dérive de ^[x] comme ^[x] de f[x]^ et x(^) dérive de ^[x] comme ^[x] de ^[x)\ et ainsi de suite. De telle sorte que si l'on sait dériver de la fonction donnée la première fonction cp (a:), on saura dériver successivement toutes les autres. Cette loi de dérivation est précisément celle qu'on établit d'après un autre point de vue, dans le Calcul diiférentiel. Lagrânge obtient ainsi pour l'expression de ©la;) la même fonction trouvée précédemment pour représenter la limite du rapport des accroissements des deux variables, ou ce qu'on a nommé la fonction dérivée. Le développement

{*) Il faut étudier cette méthode dans les ouvrages mêmes de Lagrânge: Théorie des fonctions analytiques et Calcul des fonctions.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE. 23f

ci-dessus prend la forme connue

Cette série n'est autre que celle de Taylor, et se trouve ainsi établie* par des considérations directes et indépendamment de toute notion de limite et d'infiniment petit. Les dérivées dont on y fait usage ont un caractère purement algébrique, ce qui atteint le but que l'auteur s'était proposé.

97. Reste à examiner comment cette nouvelle conception des fonctions dérivées peut s'adapter à la solution des divers problèmes.

C'est ici la partie vraiment faible de la méthode, celle qui présente d'insurmontables difficultés à l'application (*).

( ' ) Il y aurait aussi bien des choses à dire sur la démonstration elle-même de la série de Taylor, telle que la donne Lagrange. Cette démonstration est loin d'être inattaquable. M. Cournot a présenté, à ce sujet, d'excellentes réflexions dans son Traité élémentaire de la théorie des fonctions. Je citerai notamment le passage suivant (t. !•', p. 178): < Le développement en série n'a de sens que » lorsqu'il mène à une série convergente, ou mieux encore lorsqu'il o est démontré que le reste de la série tend sans cesse vers la limite » zéro quand le nombre des termes croît indéfiniment. Toute induc- » tion tirée d'un développement en série non convergente manque » de solidité, et peut conduire, comme des exemples le font voir, à » des résultats fautifs. La méthode de Lagrange n'a donc point » l'avantage d'éliminer la notion des limites ou toute autre équiva- » lente. La nature des choses et les lois de Tentendement exigent ici » l'emploi de l'une de ces notions auxiliaires dont le simple développe- M ment par TAlgèbre du principe d'identité ne peut tenir la place.

» Le développement en série n'est qu'un artifice de calcul

» et ne peut convenablement servir à établir des lois et des rapports » dont l'existence est indépendante de nos procédés artificiels. » Judicieuses réflexions, qui rendent à la conception des dérivées son véritable caractère, et qui font ressortir le singulier paralogisme dans lequel est tombé un si grand esprit.

Car, étant écartées les notions de limite et d'infiniment petit, il faut, de toute nécessité, ramener chaque question à une forme telle qu'on soit conduit à envisager le développement qu'affecte une fonction quand la variable reçoit un accroissement fini quelconque. On pressent combien doit être gênante une pareille sujétion ; car s'il est des questions où le développement de la fonction se présente naturellement (comme dans la théorie des contacts de divers ordres), il en est d'autres, en plus grand nombre, où ce point de vue ne peut être introduit qu'artificiellement et en altérant la vérité des choses. Pour faire comprendre notre pensée, nous nous bornerons à citer un des exemples où la difficulté passe pour avoir été le plus heureusement surmontée par l'illustre géomètre : celui de la détermination de la vitesse et de la force accélératrice dans le mouvement varié.

98. Après avoir pris pour définition de la vitesse, dans le mouvement uniforme, le rapport constant de l'espace parcouru au temps, Lagrange s'occupe du mouvement rectiligne varié et s'exprime delà manière suivante {*) :

« Considérons maintenant un mouvement rectiligne y> quelconque représenté par l'équation x—f(t)^f(t) étant )) une fonction quelconque de t. Au bout du temps î, le » mobile aura parcouru l'espace f{t) ; et au bout du temps ^) r-h 6, il aura parcouru l'espace /"(^ 4- 6) : par conséquent » la différence f{t-h^]—f(t) sera l'espace parcouru pen- » dant le temps 6, qui a commencé à l'instant où le temps » t a fini. La fonction f(t-\-^), étant développée suivant les » puissances de 6, devient

{*) Théorie des fonctions analytiques^ p. 319 et suiv.

» comme on l'a vu dans la première partie : donc Tes- » pace parcouru durant le temps 6 sera représenté par la » formule

9r(«)+î^no+î^r(«)+.-.,

» dans laquelle le temps t écoulé avant le temps 6 est main- » tenant regardé comme une constante. Ainsi le mouvement » par lequel cet espace est parcouru sera composé de diffé- » rents mouvements partiels, dont les espaces répondant

)) au temps 6 seront bf\t], j-^TlO, yJ~S ^"'(^''••- ' ^^

» l'on voit que le premier de ces mouvements partiels sera » uniforme avec une vitesse mesurée par/'^lf), et que le » second sera uniformément accéléré et dû à une force » accélératrice proportionnelle à {["[t), A l'égard des ï) autres, comme ils ne se rapportent à aucun mouvement « simple connu, il ne sera pas nécessaire de les considérer » en particulier, et nous allons faire voir que l'on peut en )) faire abstraction dans la détermination du mouvement au » commencement du temps 6.

» On peut conclure de là que tout mouvement rectiligne, )) représenté par l'équation x=^f{t), peut, dans un instant » quelconque au bout du temps t, être regardé comme )) composé d'un mouvement uniforme dû à une vitesse » imprimée au mobile, mesurée par f'{t), et d'un mouve- » ment uniformément accéléré dû à une force accéléra - » trice agissant sur le mobile et proportionnelle à ^^'(1), » ou simplement hf"(t)\ que, par conséquent, si les causes » qui empêchent le mouvement proposé d'être uniforme » venaient à cesser tout à coup, le mouvement se continue-

» rait dès cet instant d'une manière uniforme avec une » vitesse mesurée par /"'(i) ; et que si Teflfet de ces causes, » au lieu de devenir nul, devenait constant, le mouvement » deviendrait composé du mouvement uniforme dont nous » venons de parler, et d'un mouvement uniformément » accéléré, commençant au même instant, en vertu d'une » force accélératrice constante et proportionnelle à f'^(t).

» Donc, en général, dans tout mouvement rectiligne » dans lequel l'espace parcouru est une fonction donnée » du temps écoulé, la fonction prime (dérivée première) » de cette fonction représentera la vitesse, et la fonction » seconde représentera la force accélératrice dans un in-

» stant quelconque D'où Ton voit que les

» fonctions primes et secondes se présentent naturellement » dans la Mécanique, où elles ont une valeur et une signi- » fication déterminées »

99. Voilà donc des notions naturelles qui, pour être convenablement précisées, nécessitent la connaissance préalable du développement des fonctions en série ! comme si ridée de la vitesse et celle de la force n'étaient pas, dans notre esprit, antérieures à l'étude de l'Algèbre. Que cette science soit indispensable pour calculer les valeurs de la vitesse et de la force accélératrice d'un mouvement donné, cela se conçoit ; mais qu'elle serve à les définir, c'est ce qui nous semble un renversement de la logique.

En vain, pour relever les avantages de sa méthode, Téminent auteur dira-t-il plus loin : « Ces notions de la » vitesse et de la force accélératrice sont , comme on le » voit, très simples, et indépendantes de toute métaphy- » sique. Elles sont fondées sur la nature du mouvement

» regardé comme le transport d'un corps d'un lieu à un » autre. » On est en droit de répondre que si, dans une semblable méthode, les notions semblent, à la vérité, indépendantes de toute métaphysique, elles ne le sont pas, en revanche, de toute recherche physique, car elles impliquent la vérification expérimentale des lois essentielles du mouvement. S'il n'était pas reconnu, par exemple, que la cessation des forces motrices laisse subsister intégralement la vitesse actuelle du mobile, on ne pourrait plus dire que, ces forces venant à disparaître, le mouvement se continuera d'une manière uniforme, avec une vitesse mesurée par /^(i). La définition serait donc en défaut. Or, si la loi d'inertie était différente de ce qu'elle est réellement, en quoi cette circonstance influerait-elle sur l'idée naturelle que nous nous formons de la vitesse d'un objet en marche (')? De même, si la loi d'indépendance des mouvements était autre que l'expérience nous l'a révélée, le mouvement produit par une force constante ne serait plus' uniformément accéléré. La force accélératrice du mouvement varié ne serait donc pas représentée par la dérivée seconde de l'espace parcouru. Et cependant nous n'en aurions pas moins la notion de la valeur déterminée d'un effort variable, à un moment donné.

Qu'on songe combien de semblables détours paraîtraient pénibles, s'ils n'étaient pas dissimulés par les habiletés d'analyse du premier géomètre du siècle !

Ce n'est pas tout encore. Non seulement il faut, en bien des cas, contraindre les notions naturelles pour approprier les questions au calcul, — car ce n'est plus le calcul qui est approprié aux questions, — mais, lorsque le problème se

[^) Voir, pour plus amples développements, mon Traité de Mécanique rationnelle, t, !•', p. 43.

complique, rinstrument même cesse d'être maniable. Rien de plus significatif à cet égard que l'exemple offert par son propre inventeur. Lagrange lui-même, malgré sa prodigieuse facilité, n'a pu conserver sa méthode, et a suivi exclusivement celle de Leibnitz dans le système entier de la Mécanique analytique.

100. Gela nous prouve que les artifices mis en œuvre par les plus grands esprits ne suffisent point pour suppléer les conceptions suggérées par la nature même des choses. Les notions de limite et d'infiniment petit sont en rapport direct avec les phénomènes, et correspondent à des objets dont la considération se présente d'elle-même à l'esprit. Il faut donc les accepter franchement, et ne pas les rejeter sous le prétexte qu'elles n'interviennent pas dans l'Analyse ordinaire. Chaque branche de la science est caractérisée par les conceptions spéciales qui lui servent de bases, et l'on ne doit pas s'étonner que l'Analyse infinitésimale ait les siennes propres. C'est en se plaçant à un semblable point de vue que les théories peuvent être édifiées avec rigueur et sans contrarier les penchants de l'esprit. Sous ce rapport, l'effort tenté vainement par l'immortel Lagrange nous paraît offrir un enseignement que l'on ne saurait trop méditer.