DISTANCE

Par cela même que nous discernons dans l'Univers des êtres distincts, depuis les corps célestes dont l'écart mutuel est immense, jusqu'aux objets à notre usage, qui s'avoisinent et parfois se touchent, nous acquérons la notion de la distance, c'est-à-dire d'un intervalle plus ou moins grand compris entre ces êtres distincts ou entre les parties d'un même être envisagé isolément. Ainsi, nous concevons la distance entre le Soleil et la Terre, entre les deux extrémités d'un navire, entre les limites d'une forêt. Cette notion n'implique nullement que nous sachions mesurer les distances, les exprimer en chiffres, ou même les représenter graphiquement. Elle devance un tel art, elle lui marque son but, mais

elle ne se confond pas avec lui. En Mécanique, il n'est point nécessaire d'obtenir la « dérivée » de la fonction qui relie l'espace parcouru au temps pour se rendre compte qu'il existe un certain élément caractéristique du mouvement, que nous appelons vitesse; nous l'évaluerons plus tard, mais, dès maintenant, nous en afiîrmons la présence. En Géométrie, nous sentons la réalité de la distance avant de connaître les procédés qui la déterminent. Nous savons même, en dehors de ces procédés, ce qu'on doit entendre par distances égales ou inégales.

En effet, supposons deux corps, dont nous négligerons pour le moment les dimensions et que nous réduirons par la pensée à de simples points matériels. Entre ces deux corps plaçons un objet de forme invariable, par exemple un compas entr'ouvert, ou un fil parfaitement tendu. Si l'une des extrémités du compas ou du fil est fixée sur l'un des corps, tandis que Tautrc extrémité, coïncidant d'abord avec l'autre corps, se promène ensuite en tous sens, la distance primitive sera constamment conservée, et Ton aura le droit de prétendre que tous les points appartenant à la surface ainsi décrite sont à la même distance du point fixe ou central. Sans approfondir les pro-

priétés de cette surface, appelée sphère, nous dirons que les points situés à l'extérieur de la surface sont à une distance plus grande du centre; et que les points situés à l'intérieur sont à une distance moindre. Un tel énoncé sera saisi de tout le monde et ne soulèvera aucune contestation. Il n'implique pas cependant la connaissance de la distance du centre à la surface. Il repose sur un simple fait matériel, à savoir l'invariabilité de l'écart entre les deux extrémités d'un objet solide ou d'un fil tendu.

La distance ainsi comprise est théorique ou absolue. J'entends par là que nul obstacle n'est censé exister entre les deux points et que les circonstances n'obligent pas, pour aller de l'un à l'autre, à suivre un itinéraire particulier. Mais, dans la pratique, il peut en être autrement.

Qu'on recherche, par exemple, la distance entre deux points situés sur le globe terrestre. Il est clair que la distance sera comptée sur la surface et non à l'intérieur du globe. Dès lors, le mot n'a plus le même sens et prend une valeur relative. Un troisième point, situé à une distance plus grande sur le chemin assigné, pourra cependant n'être pas extérieur à la sphère qui passe par le

CONCEPTS DE LA GÉOMÉTRIE. l3

second point; il suffira que le chemin rentre sur lui-même, comme cela a lieu quand on gravit une montagne. Une distance plus grande sur le chemin assigné signifie que le troisième pointest rencontré après le second ; et une dislance moindre signifie qu'il est rencontré avant. Mais ceci n'a rien de commun avec le concept géométrique tel que je viens de le rappeler. La dislance est toujours envisagée dans l'espace absolu; aucune circonstance extérieure ne la modifie. Il restera à voir quelle forme elle affecte et comment on la calcule.