VOLUME, SURFACE, LIGNE ET POINT

Les corps de la Nature, particulièrement les corps solides, sont l'origine des concepts fondamentaux de la Géométrie.

Tout d'abord nous distinguons le t^olume^ c'est-à-dire la portion d'espace ou l'étendue occupée par le corps. Pour lui donner une représentation concrète, on peut imaginer que le corps soit remplacé par une enveloppe très mince qui en reproduit exactement la forme extérieure, et alors le volume serait mesuré par la quantité de liquide que cette enveloppe serait susceptible

.i4 DE l'expérience en géométrie.

de contenir. La première abstraction opérée par la Géométrie consiste donc à retirer du corps sa propre matière et à ne laisser subsister que la place qu'elle occupait dans l'espace. A l'inverse de la Mécanique qui, dans les phénomènes de translation, néglige la forme du corps et ne retient que la masse, la Géométrie ignore la masse et ne retient que la forme, qu'elle suppose invariable après la disparition de la matière. Cette abstraction nous paraît très simple, parce que nous y avons été habitués à un âge où d'ordinaire on accepte sans trop les approfondir les bases de l'enseignement. Mais c'est une des plus hardies que l'on puisse faire et elle exige un très grand eflbrt d'imagination. Nous devons retirer d'un corps ce qui le constitue, ce par quoi il existe, et spéculer sur une sorte de fantôme. L'homme éprouverait de la difficulté, à un âge avancé, à se plier à ces méthodes et l'on agit sagement en lui exposant la Géométrie élémentaire dès ses jeunes années.

Le corps étant ainsi amené à l'état de simple volume ou de forme géométrique, nous envisageons son contour extérieur, l'enveloppe idéale qui contient le volume, et nous donnons le nom de surface à cette pellicule infiniment mince ou

CONCEPTS DE LA GÉOMÉTRIE. l5

plutôt à cette apparence de pellicule sous laquelle il nous semble que le corps subsiste toujours. La surface n'a donc rien de matériel, c'est une vision de l'esprit, un « être de raison ». C'est la séparation entre le corps et l'espace qui de toutes parts l'environne. C'est comme Fempreinte que le corps laisserait dans l'espace après en avoir été retiré.

Il est rare qu'un corps soit limité par une surface continue, au moins dans le règne minéral. Presque toujours cette surface est sectionnée et composée de parties distinctes qui se joignent exactement; en un mot, l'enveloppe n'est pas une surface mais une suite de surfaces. La suture de deux d'entre elles a reçu le nom de ligne. C'est par un effort plus grand encore que les précédents qu'on parvient à concevoir l'existence de la ligne, à Tisoler des surfaces qui lui donnent naissance. C'est l'abstraction dans l'abstraction. Toutefois cette opération nous devient rapidement familière et le mot de ligne, qui en exprime le résultat, est compris des esprits les moins cultivés. Il est même entré dans le langage courant au point de servir au figuré comme au propre : on dit une « ligne de conduite », comme on dit une ligne de démarcation, la ligne suivie par un

j6 de l'expérience en géométrie.

projectile. Cet objet idéal, dont l'imagination fait tous les frais, est figuré à nos yeux par un fil extrêmement ténu, dont l'épaisseur tend à s'évanouir. Mais quelque loin que nous allions dans cette voie de l'atténuation, notre esprit va plus loin encore et perçoit une ligne dont la finesse défie toute réalisation.

Un degré de plus dans l'abstraction et nous créons le points lieu de rencontre de deux lignes, comme la ligne était le lieu de rencontre de deux surfaces. Nous accomplissons ce prodige de voir un être là où tous les éléments de l'être ont disparu. Et cependant je ferai la même remarque que tout à l'heure : cette triple abstraction entre dans nos habitudes jusqu'à passer inaperçue. Aucune hésitation ne subsiste d'ailleurs sur la chose ainsi désignée, tant le concept s'adapte exactement à notre esprit. Quel sujet néanmoins de surprise quand on y arrête son attention ! Faire reposer un concept sur le néant, sur la suppression successive de toutes les conditions de la réalité, et en même temps avoir un tel besoin de ce concept qu'il s'impose à nous dans les occasions les plus décisives ! Nous ne saurions, sans lui, marquer le lieu, la position; il répond à notre désir de précision et d'unité; il résume

l'objet dont remplacement seul nous intéresse. Au moins autant que la ligne il est entré dans le langage figuré et a reçu les acceptions les plus variées, dans lesquelles il est facile de découvrir la commune origine. Nous nous représentons le point comme un imperceptible grain, qui finit par s'anéantir et qui ne survit que par le souvenir qu'il nous laisse de l'endroit exact où il se trouvait. C'est à ce moment que le géomètre s'en empare pour le faire entrer dans ses combinaisons.

En résumé le corps matériel, tel que nous le livre la Nature, est soumis par nous à trois abstractions consécutives : i*^ nous le vidons de sa matière et nous le réduisons à son volume, contenu dans une enveloppe infiniment mince, surface ou assemblage de surfaces ; 2** la suture de deux surfaces est détacbée des surfaces ellesmêmes et nous obtenons le fil prodigieusement délié qu'est la ligne ; 3^ enfin, nous isolons le lieu de rencontre des deux lignes et nous créons cet être, dépourvu de toute condition d'existence, qu'est le point.

L'idée de matière doit donc désormais être exclue de ces différents concepts. Ce sont des êtres de raison, mais invinciblement liés au corps

DK F. a

i8 DE l'expérience en géométrie.

lui-même, et qui expriment les particularités sous lesquelles il nous plaît de l'envisager.

La matière étant écartée, nous ne nous embarrassons pas des mille irrégularités, des complications de détail qui la peuvent affecter. C'est ici qu'intervient le travail d'idéalisation auquel j'ai déjà fait allusion. Par cela seul que nous nous représentons l'enveloppe du corps, sa surface extérieure comme quelque chose d'infiniment mince, dont l'épaisseur ne nous intéresse plus, nous ne songeons pas à tenir compte des aspérités, des rugosités sans nombre qui, le plus souvent, la déparent dans la réalité. Nous supposons qu'un polissoir supérieurement délicat les a fait disparaître et a amené la surface à ce dqgré d'uni et de régulier, dont l'extérieur d'une bulle de savon ou les faces de quelque cristal modèle peuvent nous donner l'idée. Quant aux lignes, intersections de telles surfaces, nous les voyons avec cette finesse et cette pureté parfaite dont approchent les vives arêtes du cristal ou la courbe harmonieuse d'un fil très délié suspendu par ses deux extrémités. Voilà le travail de la raison qu'il ne faut pas confondre avec la source même du concept, dérivée entièrement de l'expérience.

CONCEPTS DE LA gAoUBTRIE. I9

Privés du spectacle de la Nature, nous n'aurions pas ima^né les surfaces et les lignes géométriques.

Certains auteurs adoptent une méthode différente et même inverse pour rattacher ces diverses notions les unes aux autres. Au lieu de procéder du corps pour déduire le volume, la surface, la ligne et le point, ils procèdent, au contraire, du point conçu, a priori comme le dernier terme, l'évanouissement d'un objet réel, dont la grosseur a diminué sans cesse. Ce point géométrique devient l'élément générateur, le facteur de tout le reste; de même qu'en Arithmétique l'unité

enfante tous les nombres. En se déplaçant dans Tespace, le point occupe une série de positions successives, dont l'ensemble est une ligne nécessairement continue. A son tour, la ligne engendre par son déplacement une surface continue, et enfin la surface, parle même procédé, engendre un volume.

Cette méthode, qui a ses avantages pour l'Analyse pure, me paraît, sous le rapport logique ou simplement pédagogique, offrir un sérieux inconvénient. Certes les êtres géométriques ainsi créés ont bien le degré d'abstraction et de pureté

voulu. Mais le premier de ces êtres, le point, est difficilement conçu d'emblée et de façon directe. Autant il est naturel d'imaginer la surface comme limitation du corps, autant il est artificiel de passer tout d'un coup du corps à ce qui en est la négation, le point. Je crois bien que, si la Géométrie n'existait pas déjà, nul ne songerait à une semblable opération, dont le but échapperait. Le point ainsi posé est beaucoup moins bien perçu par nous que s'il résulte d'un croisement de lignes : tel, par exemple, le sommet d'un cristal bien taillé. J'en dirai autant de la ligne et de la surface. Engendrées par voie de déplacement, elles sont dépourvues de tout support; elles flottent, pour ainsi dire, dans le vide, au lieu d'être les manifestations d'un corps réel. Nous ne savons à quoi les rattacher et nous n'en avons pas les images. Rien de moins saisissable, au début d'une exposition, que ces lignes et ces surfaces dessinées par un point qui ne laisse pas de trace après lui. Et puis, pourquoi faire intervenir l'idée de mouvement dans une Science qui procède éminemment de l'idée de repos? Que plus tard, quand nous sommes familiarisés avec les notions géométriques, nous recourions à des mouvements fictifs, comme procédés de démons-

CONCEPTS DB LA GÉOMÉTRIE. ai

tration, rien de plus légitime, parce qu'il n'en résulte aucune altération dans les données fondamentales. Mais qu'on introduise le mouvement à la base, dans les définitions elles-mêmes, cela me semble dangereux et, en tout cas, peu conforme aux règles d'une bonne méthode. La Géométrie doit s'édifier directement, suivant l'idée mère qui l'inspire, celle des rapports des choses stationnées dans l'espace.

Le travail d'abstraction, opéré sur les corps réels et qui nous a conduits à en idéaliser les éléments, nous conduit aussi à considérer ces corps comme soustraits à toutes les causes d'ébranlement et de déformation qui agissent sur eux dans la Nature. Pour le géomètre, plus de compression , ni de dilatation ; plus de phénomènes molécuFaires ; plus d'accidents d'aucun genre. Le corps devient un solide invariable, ou pour parler plus exactement, nous déclarons invariable la forme dont le corps a fourni le spécimen et qui demeure dans notre souvenir après que le corps lui-même a disparu. Ces formes, ces images affinées et perfectionnées des corps, constituent

ce que l'on nomme les figures géométriques.

Mais on aperçoit immédiatement combien étroit serait le domaine de la Science, et, en même temps, combien compliqué, s'il se confondait servilement avec la représentation des objets réels. D'une part, ces objets ont souvent des formes fantasques et bizarres, rarement des formes susceptibles d'une expression mathématique. Quelques-uns, comme les cristaux, en approchent, mais ils ne les atteignent pas rigoureusement. La Nature met sur la voie des types géométriques, mais elle ne les fournit pas dans leur pureté. Elle provoque le travail 4e la raison, elle lui donne la matière première, mais elle ne saurait suppléer à son action. De même que nous avons dû idéaliser les surfaces et les lignes physiques pour en dégager le concept véritable, de même nous devons corriger la forme des objets, parachever en quelque sorte l'œuvre de la Nature, pour aboutir à des figures susceptibles de déductions logiques.

D'autre part, l'esprit humain, en possession des éléments d'un certain nombre de figures et familiarisé désormais avec la façon dont ils se combinent, ne saurait s'arrêter aux types spéciaux qu'il a devant lui. Il est impatient d'élargir

CONXEPTS DE LA GBOHÉTRIK. ai

le cadre, d'imaginer des types nouveaux, obtenus par des procédés analogues, jouissant de propriétés différentes, et dont la diversité est inépuisable.

A côté d'une Géométrie pour ainsi dire naturelle, se développe une Géométrie spéculative, qui n'a d'autres limites que celle de notre propre esprit. Ces types créés de toutes pièces sont loin d'être sans utilité. Sans parler de la jouissance très noble qu'ils procurent à l'àme humaine, ils peuvent à leur tour s'adapter à des formes concrètes jusque-là insoupçonnées, ou mettre sur la voie de relations intéressantes qui ont leur répercussion sur des types déjà connus. C'est ainsi que les anciens avaient appliqué leur génie à ces formes abstraites connues sous le nom de seclions coniques et qui semblaient n'avoir aucun rapport avec la Nature. Plus tard cependant, Kepler, étudiant le mouvement des planètes, reconnut que leurs orbites rentraient dans les mêmes moules; si bien que les géomètres grecs avaient préparé, sans s'en douter, les matériaux de l'Astronomie moderne. De telles rencontres entre l'abstrait et le concret ne sont pas rares et elles montrent avec quelle prudence nous devons juger les recherches qui, au premier

abord, nous paraissent destinées à rester stériles.

Mais, si la Géométrie a pleine licence de s'étendre dans le champ de l'abstrait, elle doit pourtant, sous peine de perdre une part de son intérêt, rester en relation étroite avec le réel. Les profondes théories qui envisagent des espaces à dimensions multiples, à courbures constantes ou variables, peuvent rendre d'éminents services à la Métaphysique et aux Mathématiques, mais elles n^ont pas la portée pratique de la Géométrie ordinaire et ne sauraient la suppléer. Elles n'existeraient même pas sans cette dernière, sans les enseignements que nous fournit l'espace où nous vivons et qui règlent notre conduite. Elles sont comparables à une Mécanique rationnelle, de laquelle serait exclue la loi de Newton ou la loi de Galilée. Les conséquences auxquelles on aboutit ne franchissent pas le domaine du spéculatif, j'oserai dire du conventionnel, puisqu'elles s'adaptent à un ordre de choses qui ne nous apparaît pas comme étant le nôtre.

En résumé donc, les figures géométriques, celles du moins que vise la présente étude, ont pour condition essentielle de satisfaire aux lois naturelles. Soit que ces figures émanent directement de la considération des objets réels, soit

CONCEPTS DE LA GÉOMÉTRIE. *i5

qu'elles aient été créées par le géomètre, elles doivent reposer sur les données de Texpérience. Celles-ci d'ailleurs sont en petit nombre, car, nonobstant l'infinie variété des formes, les éléments premiers qui entrent dans leur composition sont identiques.

LK.NE naoïTK.

Le concept de la ligne droite est un des plus anciens et à coup sûr le plus important qu'enregistre la Géométrie.

Il répond à un grand nombre de phénomènes, dont plusieurs de Tordre le plus familier. Qui n'a tendu un fil entre ses mains ou n'a vu des travailleurs se servir du « fil à plomb »? Qui n'a admiré les arêtes de certains cristaux, soit naturels, soit artificiels? Le règne végétal, sans offrir des lignes droites aussi nettes, nous montre cependant des tiges et des branches qui suffiraient à suggérer l'idée de la forme rectiligne. C'est à dessein que je ne cite pas les spécimens accomplis que nous rencontrons dans le domaine des arts : dus à la main des hommes, ils n'auraient pas vu le jour, si déjà nous n'avions pas eu l'occasion d'en acquérir le type.

Ce concept est d'ailleurs tellement approprié à notre entendement qu'il y prend place dès nos premières observations et devient promptement inséparable de notre faculté de sentir et de raisonner. Aussi sommes-nous enclins à le regarder comme nécessaire et ne se distinguant pas des concepts purement logiques. Nous ramenons tout à la ligne droite, qui est ainsi le commencement et la fin des constructions géométriques les plus diverses. Nous cherchons à la retrouver dans les lignes et les surfaces les plus disparates. Par voie de décomposition successive, nous finissons par l'apercevoir comme résidu et élément premier de toute forme; tandis qu'inversement nous n'imaginons rien de plus simple et déplus clair, à quoi elle-même puisse être ramenée. La décomposition de la ligne droite ne nous procure que des fragments de ligne droite; nous ne concevons pas d'élément ultime d'une autre nature. De là vient que ses propriétés semblent ressortir à la raison pure et qu'au lieu de les vérifier par l'expérience nous sommes tentés de les proclamer évidentes, à l'instar des axiomes mathématiques, ou d'en demander la démonstration à la logique.

Quand nous énumérerons ces propriétés, nous

CONCEPirS DE LA GEOMETRIE. 27

serons frappés de la peine qu'on s'est donnée pour éviter de recourir à l'observation et pour suppléer au témoignage des sens par des raisonnements, dont la rigueur ne rachète pas la complication. Fussent-ils d'ailleurs, en certains cas, à l'abri de la critique, ce ne serait pas, selon moi, un motif suffisant pour refuser la claire certitude qui résulte de la vue des choses. Dans le domaine des Sciences purement abstraites, il est d'une saine philosophie de ne rien introduire qui ne puisse être rationnellement démontré. Mais, dans les Sciences physiques, où l'expérience établit les bases, il n'y a pas lieu d'en limiter parcimonieusement le nombre. Mieux vaut une donnée expérimentale de plus qu'un détour laborieux, grâce auquel on espère la déduire logiquement de quelque autre vérité, dont la primauté ne s'impose pas.

Nous verrons également qu'on a cherché à faire reposer sur telle ou telle de ces propriétés la définition même de la ligne droite. C'est une méthode, à mon avis, peu satisfaisante, car on ne réussit ainsi qu'à donner une idée incomplète de l'objet défini. On en produit la qualification abstraite, mais on n'en montre pas la forme. Celui qui n'aurait jamais vu de ligne droite, c'est-

à-dire le phénomène physique très simple d'où le concept dérive, ne se la représenterait nulle-: ment d'après l'indication de sa propriété caractéristique. Suffît-il d'entendre dire que « la ligne droite est déterminée par deux points » pour avoir immédiatement devant soi l'image d'un fil tendu? Le fait concret ne nous en apprend-il pas davantage ? Tout énoncé métaphysique nous laisse dans une demi-ignorance. Si nous connaissions la chaleur seulement comme vibration de l'éther, nous serions beaucoup moins bien informés qu'après l'avoir éprouvée sur nous-mêmes ou sur les corps qu'elle dilate. Il convient donc que la ligne droite reste dans l'esprit comme l'idéalisation du fil très délié, tendu par ses deux extrémités.

Direction. — L'idée de direction est inséparable de la ligne droite. Souvent même les deux mots sont synonymes. On dit « suivre une direction » pour dire : suivre la ligne droite qui, du point où l'on est, mène vers une région déterminée. Dans plusieurs cas, la direction est appréciée par rapport à une base fixe. Deux lignes droites ont la même direction par rapport à cette base quand elles s'en écartent pareille-

ment, quand elles divergent de la même manière. Ce point se précisera plus lard. On dit aussi, en empruntant le terme au vocabulaire maritime, que les droites ont la même « orientation ») . De toutes façons, la direction est marquée par la ligne droite et ne se définit que par elle : c'est le même concept, avec cette nuance que le terme de direction est plus restrictif, il nous montre la ligne droite sous un de ses aspects principaux, en laissant les autres propriétés dans l'ombre.