LIGNE COURBE

La ligne courbe veut être vue, comme la ligne droite, pour être bien comprise. Les définitions abstraites sont impuissantes à en donner une juste idée. Que reste-t-il dans l'esprit quand on a appris que la ligne courbe est celle qui n'est « ni droite, ni composée de lignes droites »? Outre que cette définition est négative, partant insuffisante, elle n'évoque aucune image, elle ne nous amène à rien de précis. Nous serions aussi embarrassés après qu'avant pour figurer une courbe sur le papier. Si l'on accepte de tels énoncés sans protester, c'est parce qu'on a déjà

3o DE l'expérience en géométrie.

acquis par l'expérience la notion de la ligne courbe et qu'on en discerne la forme au moment de la définir. Comme, après tout, cette définition n'est pas erronée, on l'admet et on lui attribue volontiers les clartés dont elle profite. Mais assurément, si la courbe n'avait pas déjà été observée matériellement, ces explications ne nous la feraient pas entrevoir.

On dit aussi que la ligne courbe est une ligne (( dont la direction varie continuellement ». Mais quelle direction? puisqu'il n'y a pas de ligne droite et que la droite seule a une direction. Il faudrait préalablement avoir défini la tangente à la courbe et être convenu que la direction de cette tangente représente, en chaque point, la direction de la courbe. Or comment définir la tangente si déjà l'on ne possède pas la notion de la courbe elle-même?

Reconnaissons la vérité, à savoir que le concept de la ligne courbe s'introduit dans notre esprit à la suite des nombreux spécimens que la Nature offre à nos regards. Depuis la courbe harmonieuse de l'Océan jusqu'à la croupe arrondie des montagnes, jusqu'aux myriades de végétaux qui recouvrent le globe, nous voyons sans cesse des lignes dont la forme se diversifie à l'infini et

CONCEPTS DE LA GÉOMÉTRIE. 3l

qui, selon Texpression classique, ne sont « ni droites ni composées de lignes droites ». Telle est la véritable origine du concept. Nous recueillons le type qui se dégage ainsi du concret et, sans nous arrêter aux différences que les spécimens accusent entre eux, nous parvenons àTidée générale de la courbure. Celle-ci, plus ou moins accentuée, plus ou moins atténuée, selon que la forme s'éloigne plus ou moins de la ligne droite, devient un objet sui generis comme la ligne droite l'est de son côté.

il serait tout aussi chimérique de recourir au mouvement pour se représenter la ligne courbe. Sans doute la pierre lancée par une fronde, la feuille emportée par le vent, le bolide qui traverse le ciel, décrivent des lignes courbes. Mais le phénomène est fugitif et ne laisse pas de trace matérielle. La courbe s'évanouit à mesure qu'elle s'engendre et elle ne saurait parler aux yeux comme le contour d'un objet qui demeure. D'ailleurs, il ne faut pas se le dissimuler, recourir au mouvement, à moins que ce ne soit d'une manière abstraite, c'est encore recourir à l'expérience, c'est entrer, par une autre voie, dans le domaine de l'observation. Et alors, pourquoi ne pas observer directement la forme des objets?

Pourquoi exécuter une opération intermédiaire, qui nous renseigne d'une manière moins simple et moins complète?

La ligne brisée ou polygonale, c'est-à-dire <( composée de lignes droites », tout en ne pouvant se confondre avec la ligne courbe, devient un acheminement à celle-ci. Elle n'est pas contraste, mais transition. L'Analyse moderne nous apprend en effet que la ligne courbe peut et doit, pour la facilité des déductions, être considérée comme la limite d'un contour polygonal dont les côtés diminuent indéfiniment ou, selon l'expression métaphorique, comme un polygone à côtés infiniment petits. Il y a donc inconséquence à faire, par définition, de la ligne courbe l'antithèse du contour polygonal.