SURFACE COURBE

Je reproduirai les réflexions déjà faites au sujet de la ligne courbe. C'est une bien insuffisante définition de dire : « La surface courbe n'est ni plane ni composée de surfaces planes ». L'aperçoit-on dès lors distinctement? Sait-on ce qu'elle est? Non, on sait seulement ce qu'elle n'est pas. L'Analyse infinitésimale vient encore protester contre cette définition. Est-il à propos de proclamer que la surface courbe est celle qui « n'est point composée de surfaces planes », après que Leibnitz nous a persuadés de considérer la surface courbe comme formée de facettes planes indéfiniment décroissantes? N'est-il pas plus philosophique de voir dans le polyèdre un trait d'union entre le plan et la surface courbe?

C'est par une autre voie, par l'observation directe des choses, que nous devons nous élever à ce concept. La Nature, de même que pour les formes précédentes, n'est pas avare de spécimens. La mer, contemplée d'une certaine élévation, nous présente un admirable type de surface

36 DE l'expérience bn géométrie.

courbe. Dans un ordre plus modeste, les fruits, les fleurs, les cailloux roulés par les eaux affectent toutes sortes de figures arrondies. Chez les êtres animés la surface courbe est la règle ; elle varie à tout instant et les parties se soudent les unes aux autres avec un art merveilleux. Le sentiment de la courbure pénètre donc en nous dès notre premier commerce avec le monde extérieur.

Grâce à cette notion générale et aux types spéciaux du plan et de la ligne droite, il nous devient possible, sans observer directement les spécimens, d'imaginer et de définir par des formules abstraites toutes sortes de combinaisons de ces éléments primordiaux. Il n'est pas indispensable, par exemple, de voir un cercle pour le décrire, quoique la vue assurément ne puisse, que contribuer à éclairer le concept ; mais on en donne une idée très suffisante en disant que c'est « une surface plane entourée par une ligne dont tous les points sont à égale distance d'un point intérieur nommé centre ». La connaissance expérimentale que nous avons acquise du plan, de la droite et de la courbure nous met à même de concevoir le cercle d'après cette seule description. Il en sera de même de toute autre courbe ou de toute autre surface. Il suffira que la propriété

caractéristique ou le mode de génération soit nettement indiqué, de manière à prévenir toute confusion. Lors donc que nous avançons que Texpérience est nécessaire à la (ïéométrie, nous n'entendons pas qu'elle est nécessaire pour chacun de ses objets en particulier, mais bien qu'elle préside à la formation d'un petit nombre de concepts, desquels on passe ensuite, pcir voie logique, aux diverses figures géométriques.

Quelques-unes de ces figures d'ailleurs, à raison de leur importance et de la facilité avec laquelle l'esprit se les approprie, méritent également le titre de concepts.

ANOLK.

On nomme angle la figure formée par la rencontre de deux lignes droites. Le sommet de l'angle est le point de rencontre des droites, et les côtés sont ces droites elles-mêmes envisagées à partir du sommet.

Cette figure si simple est, par suite de sa simplicité même, impossible à définir d'une manière plus précise. Toutes les tentatives faites à cet égard prêtent à la critique. Ainsi Ton dit fréquemment que l'angle est « l'espace compris

entre deux droites qui se coupent ». Mais qui ne sent que le terme d'angle éveille en nous une autre idée que celle de surface? car l'angle n'est pas limité par la longueur des côtés. C'est bien plutôt une idée d'ouverture ou d'écartement. On dit aussi que l'angle est « l'inclinaison mutuelle de deux droites ». Mais c'est là une véritable tautologie, car l'inclinaison n'est pas plus définie que l'angle, et au fond le sens est le même. Mieux vaut avouer notre impuissance : l'angle est un objet sui generisy comme la courbure ou la vitesse; il n'a pas de synonyme, il porte en soi sa signification. En employant le mot, on est sûr d'être entendu de tous, aussi bien qu'en parlant d'espace, de temps, de direction ou de longueur.

Mais si l'angle n'est pas susceptible de description verbale, il n'en représente pas moins une quantité fort nette, sur le sort de laquelle nous n'avons pas la moindre hésitation. J\ous comprenons parfaitement qu'il y ait des angles égaux et des angles inégaux. Nous les faisons même surgir, sous nos yeux, parla rotation d'un des côtés de l'angle autour de son sommet.

L'angle grandit graduellement et il arrive un moment ou nous sentons qu'il est égal à celui que

CONCEPTS DE LA GKOIIÊTRIE. Sg

le même côté mobile forme avec le prolongement du côté fixe. Ce qui est vrai d'un angle particulier, qu'on fait ainsi croître et décroître, est vrai de tous les angles possibles; ils passent tous par les mêmes nuances de grandeur, de sorte qu'on est en droit de les considérer comme étant de même nature et comparables entre eux. En un mot, tous les angles possibles rentrent dans la série qu'on obtient par la rotation d'un côté, d'abord appliqué sur l'autre côté, et qui accomplit ensuite un tour entier pour revenir à son point de départ.

La position unique du côté mobile, qui cor^ respond à l'égalité des deux angles formés avec le côté fixe et avec son prolongement, mérite d'être distinguée de toutes les autres et a reçu, à cet effet, une dénomination spéciale. Les deux droites sont dites perpendiculaires entre elles et les angles égaux sont appelés droits. Si le côté mobile est prolongé comme le côté fixe, le champ entier est partagé en quatre angles droits. Il tombe sous le sens qu'une autre figure donnerait quatre angles égaux aux précédents et que, d'une manière générale, tous les angles droits sont égaux entre eux, en quelque partie de l'espace qu'ils soient tracés. Chacun représente

4o DE l'expérience en géométrie.

un quart du tour entier et embrasse le quart du champ occupé par les deux droites. Les angles plus petits que les droits sont aigus^ les angles plus grands sont obtus.

J'anticipe ici forcément sur les propriétés de la ligne droite et du plan. Car il n'est pas évident a priori qu'une droite peut tourner autour d'une autre, de manière à s'appliquer exactement sur elle à un certain moment de la rotation.

Elle coïncidait au début, mais rien ne prouve qu'après un demi- tour elle coïncidera avec le prolongement. Du moins rien ne le prouve, quand on n'est pas encore renseigné sur la manière d'être de la droite et du plan (*). Mais cette anticipation de ma part n'est pas, comme on le verra, une pétition de principe.

La notion de la perpendicularité, malgré son extrême importance, n'est pas un concept proprement dit; elle se confond avec celle de l'angle droit, et celle-ci, à son tour, est comprise dans le

( * ) Certains géomètres qui refusent de remonter à la source expérimentale et qui ne trouvent pas évident en soi (en quoi ils ont raison) qu'une pareille coïncidence doive nécessairement avoir lieu, prennent le parti de la contester et alors ils construisent une science singulière, qui peut intéresser par quelques-uns de ses résultats inattendus, mais qui n'a avec la Géométrie ordinaire que des rapports bien lointains.

ONGEPTS DE LA GÉOMÉTRIE. 4l

concept général de l'angle. Entre la ligne droite et la ligne courbe, ou entre le plan et la surface courbe, il existe une différence de nature; aussi les concepts sont distincts. Au contraire, entre Tanglo droit et un angle quelconque, il n'y a qu'une différence de grandeur; il n'y a pas de différence de nature ; aussi le concept est unique. L'attention se porte de préférence sur ce moment précis de la grandeur où la perpendicularité se déclare, parce que notre esprit est amoureux de symétrie, d'équilibre, d'égalité, et parce que, d'autre part, les conséquences pratiques sont considérables. En premier lieu la pesanteur, qui agit perpendiculairement à la surface de la Terre, nous oblige, si nous voulons assurer la stabilité de nos constructions, à les élever perpendiculairement à la surface d'équilibre de l'eau, ou suivant la verticale. Dans nombre de circonstances, indépendamment du plaisir des yeux, nous recherchons, pour des motifs de facile agencement ou de plus grande résistance, la disposition orthogonale, qui est toujours la plus favorable. L'expérience nous apprend, en effet, que la réaction la plus efOcace des surfaces contre lesquelles on appuie s'exerce normalement ou dans une direction perpendiculaire à la

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surface. Si donc on désire éviter le glissement, on a intérêt à diriger la pression selon la normale et à créer, par conséquent, des angles droits.

Enfin, les positions des objets dans l'espace sont presque toujours déterminées à l'aide de droites ou axes fixes, auxquels ces positions sont rapportées. On a été naturellement amené, parce que le système est plus simple, à rendre ces axes perpendiculaires les uns aux autres. De sorte que dans la Science, comme dans l'industrie, les angles droits sont d'un usage continuel et d'une utilité de premier ordre.

L'idée d'angle est si bien distincte de celle d'étendue qu'elle a donné naissance à plusieurs locutions d'où l'idée d'étendue est absente. C'est ainsi qu'en Mécanique on considère la vitesse angulaire par opposition à la vitesse ordinaire ou linéaire. Or la vitesse angulaire, qui désigne le degré de rapidité avec lequel la rotation se poursuit, ne comporte aucune notion de longueur ou de surface; car cette vitesse est la même, quelle que soit la distance au centre de rotation. Quand on fait tourner un côté de l'angle autour du sommet, tous les points de la droite mobile possèdent la même vitesse angu-

laire et cependant ils enserrent, par leur trajectoire, des surfaces fort inégales, suivant leur éloignement du sommet. L'idée d'étendue doit donc être éliminée du concept de l'angle ; ce qui reste, c'est la notion de divergence ou d'écartement, ou, si Ton préfère, d'ouverture sur l'espace indéfîni.

L'angle de deux plans ne présente pas une image moins nette. Sans connaître le mode d'évaluation ni les procédés graphiques à employer, nous sentons que la méthode sera la même pour tous les angles de deux plans, et que la mesure d'un angle ne variera pas quel que soit le point de l'arête ou de la ligne d'intersection qui aura été choisi. Nous sentons également qu'il ne s'agit pas ici d'un concept nouveau et que l'ouverture de deux plans ne diffère pas, au point de vue métaphysique, de l'ouverture de deux lignes droites.

Si l'angle évoque une idée tout autre que celle d'espace, il n'en est pas moins vrai que le plan et l'angle sont étroitement liés, en vertu de ce fait que tout angle appartient à un plan (* ) et que

{^) J*anticipe encore sur les propriétés du plan, mais la rigueur de l'exposition n'aura pas à en souffrir.

nous ne saurions tracer un angle sans faire naître aussitôt l'idée d'un plan auquel il adhère. Cette figure géométrique si simple, la première de toutes, est donc essentiellement une figure plane, et par là elle se distingue de la multitude innombrable de celles qui, par suite de leur structure, ne peuvent pas être contenues dans un même plan.

De même que l'angle est une figure plane, la figure formée par une droite et un point extérieur à cette droite est également une figure plane. Car on peut toujours joindre ce point à la droite par une droite quelconque, c'est-à-dire former un angle contenu, par conséquent, dans un plan. D'où cette constatation, qu'une droite et un point sont toujours situés dans le même plan. On peut remarquer que le . phénomène de la perpendicularité se réalise aussi bien quand le point est extérieur à la droite que s'il lui appartient. Car la droite quelconque, menée du point à la droite donnée, peut tourner autour du point jusqu'à ce que les deux angles formés avec celle-ci soient égaux.