PARALLELISME

La notion du parallélisme, bien que contemporaine sans doute de celle de l'angle, n'est pas acceptée avec la même unanimité. Elle a fourni Toccasion de nombreuses controverses qui ne sont pas encore closes. Cette confusion relative tient, selon moi, à ce qu'on veut se passer du concours de Texpérience et aussi à ce qu'on se place à un point de vue qui n'est peut-être pas très philosophique.

Au lieu de considérer le parallélisme en luimême, comme un phénomène spécial, ne se .

rattachant à aucun autre, on en fait le dernier terme d'une série, le membre éloigné d'une famille à laquelle il n'appartient pas réellement. Pour montrer la filiation, on raisonne ainsi :

« Deux droites se coupent ou font un angle.

Imaginons que l'une d'elles tourne autour d'un de ses points de manière à reculer de plus en plus le point de rencontre. L'angle diminue en même temps et il arrivera un moment où le point de rencontre étant rejeté à Tinfini, cet angle deviendra nul. Dans cette situation, les droites sont parallèles. »

Remarquons combien cette définition est obscure et même inexacte. Qu'est-ce qu'un point de rencontre situé à Tinfini? Ou les deux droites se coupent, ou elles ne se coupent pas. Si elles se coupent, le point de rencontre est quelque part, très loin, plus loin encore, mais il est quelque part. Il n'est pas à l'infini, car cela n'a pas de sens : l'infinité ne se réalise pas dans les phénomènes. Si au contraire les droites ne se coupent pas, il n'est pas plus vrai de dire qu'elles se rencontrent à l'infini qu'à une distance quelconque. Elles ne se rencontrent pas, et c'est tout. De même pour l'angle. Ou il existe, ou il n'existe pas. S'il existe, le sommet est quelque part, si loin qu'on veut, mais quelque part. S'il n'existe pas, le sommet n'est nulle part, pas. plus à l'infini qu'à une distance finie.

Il ne faut pas confondre une méthode de calcul, un procédé d'évaluation avec une définition, c'est-à-dire avec la description d'un être pris en soi, tel que ses attributs propres le font connaître. Sans doute l'Analyse infinitésimale nous convie, pour faciliter le calcul, la mesure, à envisager une courbe comme la limite d'un polygone à côtés décroissants, mais nous n'avons pas le droit de dire qu'une courbe est un polygone

d'un nombre infini de côtés. Car au moment où nous prononçons les mots de polygone et de côté nous excluons la courbe. Celle-ci est un objet sui generis, substantiellement distinct des polygones. Quand nous employons de semblables locutions, c'est abréviativement, pour éviter des périphrases. Mais le vrai géomètre ne s'y trompe pas ; il sait que les courbes ne sont pas des polygones : ce sont deux genres différents. Tout ce qu'on a droit de prétendre, c'est que ces genres peuvent être rapprochés autant qu'on veut, sans toutefois arriver à se confondre.

U en est de môme pour le parallélisme. Les parallèles ne sont pas des sécantes. La différence entre elles peut être atténuée, mais elle n'est jamais nulle. Il faut donc renoncer à ranger sous un même concept deux phénomènes qui au fond s'excluent : la rencontre et la non-rencontre. A des phénomènes distincts et qui ne peuvent être ramenés l'un à l'autre, il faut deux concepts distincts : l'angle, d'une part, ou l'intersection des lignes ; le parallélisme , d'autre part.

Je signalerai comme également vicieuse une autre définition, qui a pour elle le prestige d'une longue tradition. Elle consiste à appeler parai-

lèles deux droites qui, étant situées dans le même plan, « ne se rencontrent pas, aussi loin qu'on les prolonge » . Mais peuvent-elles se rapprocher, sans parvenir cependant à se toucher? La définition ne le dit pas. On sait pourtant qu'il existe des lignes nommées asymptotes qui se rapprochent indéfiniment et qui ne se touchent jamais. A la vérité ces lignes ne sont pas droites, au moins l'une d'elles. La définition suppose donc qu'on sache faire le départ entre les lignes susceptibles d'un tel rapprochement et celles qui ne le sont pas. Grave défaut pour des préliminaires. La définition ne dit pas non plus si les parallèles peuvent s'éloigner l'une de l'autre, ce qui est encore une fâcheuse lacune. Or, représentons-nous deux lignes affectant la forme d'arcs de cercle de très grand rayon, disposés symétriquement. Ces lignes ressemblent à s'y méprendre à des droites, et elles seraient parallèles, aux termes de la définition, car elles ne peuvent se rencontrer; mais elles s'écartent insensiblement l'une de l'autre, si les arcs sont opposés par leur convexité. Enfin la définition est négative, signe d'infériorité. Comment d'ailleurs réaliser physiquement le phénomène de deux droites qui « ne se rencontrent jamais »? Comment vérifier qu'au

delà des étendues qui nous sont accessibles, des droites, d'aspect parallèle jusque-là, ne finiront pas par se rejoindre? Quand sera-t-on sûr d'avoir atteint le vrai type, d'avoir construit cette figure idéale?

Ces difficultés viennent de ce que nous n'exprimons pas exactement le concept que nous avons dans l'esprit. iNous nous éloignons du sentiment naturel, tel que l'éprouvent le commun des hommes. Qu'on demande à une personne peu familiarisée avec les spéculations géométriques et qui en connaît seulement les idées générales, qu'on lui demande de tracer deux parallèles. Elle n'aura pas d'hésitation. Après avoir décrit une première droite, elle s'appliquera, si elle n'a à sa disposition qu'une règle, à placer celle-ci de manière qu'elle ne penche ni d'un côté ni de l'autre, ou que, sur sa longueur, elle lui paraisse à la môme distance de la droite déjà tracée. Pour cette personne deux parallèles se reconnaissent à ce signe qu' « elles sont partout à la même distance l'une de l'autre » . Tel est, à mon avis, le vrai concept du parallélisme. Telle est la formule à laquelle je me rallie. Il restera, bien entendu, à montrer que de telles droites sont toujours possibles. Il y aura lieu

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5o DE l'expérience en géométrie.

aussi de préciser l'idée de distance qui se présente ici naturellement.

Cette définition, outre sa clarté et sa précision, a une supériorité sur les deux autres. Le parallélisme ainsi dépeint est susceptible d'une vérification expérimentale, tandis que sous les autres formes il ne l'est pas. Voici en effet deux droites menées dans un plan et qualifiées de parallèles. (Comment nous assurer qu^elles le sont? Aux termes de la première définition, le point de rencontre est transporté à l'infini. Il est bien évident que nous n'avons aucun moyen de le constater. Aux termes de la seconde définition, les deux droites ne devront se rencontrer jamais. Nous n'avons pas davantage le moyen de le savoir. Quand même nous observerions un léger rapprochement, nous n'en pourrions pas conclure qu'une intersection s'ensuivra, et, d'autre part, ce rapprochement n'est pas contraire à la définition.

En résumé, pour vérifier le parallélisme selon les deux premières formules, il faudrait étendre notre cadre indéfiniment, que dis-je? il faudrait l'étendre à l'infini, ce qui est vain. Au contraire, d'après la dernière définition, il suffit de rechercher s'il existe un rapprochement. Si faible qu'il

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soit, il exclut le parallélisme. Pas n'est besoin de sortir du cadre fini de la figure.

Nous verrons plus tard quelles interprétations ont permises les définitions en usage et combien Tidée de Tinfini ainsi introduite à Timproviste a été la source de malentendus. Elle constitue, dans la Géométrie élémentaire, une exception peu explicable. Toutes les autres figures, Tangle, la ligne droite, la courbe, le plan, sont perçues par nous dans une étendue limitée. Nous admettons qu'elles puissent être prolongées indéfiniment, mais cela n'est point nécessaire à leur comprébension. Nous relevons leurs propriétés dans le lîni. Tout à coup la méthode change sur les parallèles. Leur existence implique Tinfini. Aucune observation dans le fini n'est probante. Il y a là une anomalie singulière et une brusque rupture dans rencbaîneinent des idées. Pourquoi ne pas rester dans les données- habituelles ? Pourquoi ne pas caractériser le parallélisme par une propriété perceptible dans le domaine limité? Or justement régalité de distance satisfait à cette condition.

Du parallélisme de deux droites on passe aisément, sans sortir du concept, au parallélisme de deux plans. ;^Leur distance doit rester constante.

Pareillement, une droite est dite parallèle à un plan quand elle est partout à la même distance. On peut enfin envisager autant de plans qu'on voudra, parallèles les uns aux autres, et de même un nombre quelconque de droites parallèles entre elles. Il n'est d'ailleurs pas nécessaire qu'elles soient toutes situées dans le même plan; il suffit qu'elles soient, deux à deux, dans un plan. Quand deux droites ne sont pas dans un même plan, forcément elles ne se rencontrent pas; car si elles se rencontraient, elles formeraient un angle, donc un plan. Et cela nous montre encore un point faible de l'ancienne définition du parallélisme; en effet, ces droites satisfont à une partie de la définition, qui consiste dans la non-rencontre. Le point faible disparaît si les parallèles sont définies « des droites qui restent à la même distance ». Car les droites non situées dans le même plan, tout en ne se rencontrant pas, ne gardent pas la même distance; elles n'ont rien de commun avec les parallèles.