CERCLE, SPHÈRE

Le cercle et la sphère, bien qu'étant des figures particulières, comme le triangle, le qua-

drilatère, et plus tard Tellipse, Thyperbole, etc., me paraissent devoir être érigés en concepts, à raison du rôle prééminent qu'ils jouent dans le monde physique et dans la Science, à raison aussi de la connaissance précoce que nous en avons. En outre, ils possèdent des propriétés communes avec la ligne droite et le plan, ce qui les distingue des autres figures et ce qui a permis d'édifier sur eux une Géométrie comparable, par certains côtés, à celle des figures rectilignes planes. La sphère est le lieu des points situés à une égale distance d'un point fixe. Ce point fixe est dénommé le centre de la surface s[)héri(jue.

Le cercle est le lieu des points analogues situés dans un même plan. Cette définition est non seulement claire et précise, mais elle permet de se représenter fobjet. Il n'est point indispensable d'avoir vu une sphère ou un cercle pour s'en faire une idée; il suffit de concevoir le procédé de génération mis en œuvre?, c'est-à-dire de concevoir, pour le cercle, une branche d'un compas tournant autour de l'autre branche et réalisant par suite l'égalité de distance. La conception de la sphère à l'aide du même procédé est un peu moins simple, mais on y arrive aussi avec quelque effort d'attention.

L'intersection de la sphère par un plan passant par le centre est évidemment un cercle; car tous les points de la ligne d'intersection sont, comme tous les autres points de la sphère, à égale distance du centre, et, d'autre part, ils sont, par hypothèse, contenus dans un plan. Tous les cercles ainsi découpés sur la sphère par des plans affectant des directions quelconques sont égaux; car en faisant tourner convenablement la sphère autour de son centre, on peut toujours amener l'un quelconque de ces cercles à coïncider avec un autre supposé fixe ou rendu indépendant, par la pensée, de ce mouvement de rotation. Dès lors, on peut concevoir la sphère comme obtenue par la rotation d'un quelconque de ces cercles autour de son centre ou encore par la rotation du cercle autour d'une droite contenue dans son plan et passant par le centre.

La manière même dont le cercle ou la sphère sont tracés, en vertu de la définition, a pour conséquence que le cercle et la sphère sont partout semblables à eux-mêmes. Une portion quelconque, soit du cercle soit de la sphère, peut être amenée, par une rotation de la figure, à coïncider avec une autre portion, supposée fixe. C'est là une propriété très remarquable, que le

cercle et la sphère partagent avec la ligne droite et le plan, et qui ne se t^etrouve dans aucune autre figure. La courbure, quelle que soit d'ailleurs la manière de la mesurer, est identique en tous les points d'un même cercle ou d'une même sphère. D'une façon générale, toutes les propriétés de la courbe ou de la surface, existant en un point, existent sur tous les autres points. On pourrait citer d'autres particularités qui découlent immédiatement de la définition, mais j'ai voulu me borner à donner une idée de ces figures exceptionnellement intéressantes.

Elles représentent avec une grande approximation la forme du Soleil, des planètes et de leurs satellites, probablement aussi celle de toutes les étoiles. La courbure de TOcéan, dans le sens équatorial, réalise un cercle presque mathématique. La forme sphérique ou tout au moins sphéroïdale se retrouve dans un nombre immense de phénomènes. Les radiations calorifiques, lumineuses se propagent en affectant la même intensité sur toute la surface de la sphère dont la source radiante est le centre. La gravitation universelle se fait sentir en raison inverse du carré de la distance ou en raison inverse de la surface sphérique. L'ébranlement causé dans un

liquide par la chute d'un corps se manifeste par des cercles concentriques qui vont s'élargissant à partir du point de la chute. Dans les phénomènes de dimensions plus réduites, dans la goutte d'eau qui se condense, dans la bulle de savon qui s'élève, la figure sphérique est toujours plus ou moins observée. L'industrie s'applique, dans les cas les plus divers, à réaliser des cercles aussi parfaits que possible, pour faciliter les mouvements de rotation dont elle a besoin. Les volants des machines, les roues des véhicules, les rouages de montre sont autant d'applications de la forme circulaire. Il n'est pas surprenant que le cercle et la sphère aient pris, dès les premiers temps, une place aussi grande dans la Géométrie.

La notion du cercle contribue à éclaircir celle de l'angle. Si l'on prend, en effet, le sommet de l'angle pour centre d'un cercle, un des côtés de l'angle, en tournant autour du sommet, parcourra successivement toute l'étendue du cercle. Les dimensions de l'angle, aux différents stades de la rotation, correspondront aux dimensions de l'arc intercepté. Et si l'on adopte un cercle de même rayon pour tous les angles, ceux-ci

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seront comparables entre eux comme sont comparables les arcs qu'ils interceptent.

TANGENCE.

Le concept de la tangence a pris naissance à l'occasion du cercle et de la sphère; il s'est ensuite étendu à toutes les courbes et à toutes les surfaces. On entend par ce mot la disposition d'après laquelle une ligne droite et une courbe, une surface plane et une surface courbe, ou bien deux courbes ou deux surfaces courbes, n'ont entre elles qu'un simple contact, ne se touchent que par un seul point.

Observons d'abord cette particularité sur la ligne droite et la courbe. Nous en avons un spécimen matériel sous les yeux chaque fois qu'un disque circulaire, la roue d'un véhicule, par exemple, roule sur une bande en bois ou en fer. Le transport des voitures sur rails, aujourd'hui si répandu, est une continuelle application de la tangence. De tels faits suffisent à suggérer le concept. Mais il convient d'épurer le phénomène et de le voir en sa forme idéale.

La droite et la courbe étant deux genres diflerents, dont l'un exclut l'autre, elles ne

peuvent avoir une partie finie commune. Quelle que soit donc la manière dont elles viennent à se rencontrer, elles ne peuvent avoir à ce moment qu'un point commun. Mais les effets de la rencontre sont très différents, selon que la droite passe au travers de la courbe, la pénètre, ou selon, au contraire, qu'elle Teffleure sans la percer, ainsi que nous voyons le rail servir d'appui à la roue. C'est ce second cas, celui du contact géométrique, qui s'appelle tangence.

On peut le réaliser par un double procédé : soit en traçant une droite extérieure et la rapprochant ensuite graduellement de la courbe jusqu'au moment précis où elle la touche sans l'entamer; soit en coupant tout d'abord la courbe et faisant ensuite pivoter la droite autour d'un des points d'intersection jusqu'à ce que l'autre point vienne à la fin se confondre avec lui. Si peu que la rotation continue, les deux points se séparent et le second reparaît, mais du côté opposé. L'instant indivisible où les deux points n'en font qu'un marque le phénomène de la tangence.

Les géomètres préfèrent ce second mode, qui se prête mieux à l'application du calcul. Dès lors, la ligne droite tangente, ou plus brièvement la

tangente, est désignée comme étant la limite des sécantes, c'est-à-dire comme la position unique par laquelle passent les sécantes lorscjue, ayant eu un deuxième point d'intersection, par exemple, à droite, elles Tauront ensuite à gauche. Mais, de ce que la tangente est la limite, il n'en faut pas déduire, comme on le fait souvent à tort, qu'elle est « un cas particulier des sécantes » ou « la dernière des sécantes ». Non, car en passant par cette position spéciale et unique, elle change de nature; elle sort de la famille des sécantes pour entrer dans celle des tangentes. Nous retrouvons ici la même confusion que nous avons déjà signalée au sujet du parallélisme. De même que la parallèle n'est pas un cas particulier des obliques, mais la limite vers laquelle celles-ci tendent quand Tangle diminue, de même la tangente ne saurait être une forme de sécante : elle en est la négation.

J'ai supposé implicitement que la droite ne coupait la courbe qu'en deux points. On peut en effet envisager une partie de courbe assez petite pour que le nombre des points d'intersection soit en général réduit à deux. Cela, du reste, n'importe pas au concept,

La sphère et le plan sont, au regard l'un de l'autre, dans la même situation que le cercle et

6o DE l'expérience en géométrie.

la ligne droite. La vue d'une bille qui roule sur une table de marbre ou sur une glace nous donne la notion d'un plan tangent à une sphère, c'està-dire n'ayant avec elle qu'un point commun.

On précise géométriquement cette notion en imaginant, comme tout à l'heure, que le plan commence par couper la sphère, puis qu'on l'éloigné peu à peu du centre ou qu'on le fait tourner autour d'un des points de rencontre, de manière que la ligne d'intersection se rétrécisse insensiblement et finisse par se réduire à un point unique. A ce moment, le plan est dit tangent à la sphère. Sans plus de difficulté, on imagine un plan tangent à une surface quelconque, et deux surfaces tangentes entre elles.

Le concept de la tangence est aussi naturel et aussi répandu que celui du parallélisme. Tout le monde n'est sans doute pas familiarisé avec le mot, mais bien peu de gens ignorent la chose, et quand on parle de deux lignes ou de deux surfaces qui se touchent, qui n'ont qu'un point de contact, personne ne se méprend sur la nature du phénomène, personne ne le confond avec celui d'une ligne qui en rencontre une autre, et qui passe du dedans au dehors. Il n'est pas nécessaire d'être géomètre pour avoir l'esprit ouvert à ces

CONCEPTS DE LA GÉOMÉTRIE. Gl

notions : elles relèvent, oserai-je dire, du sens commun.