LIMITES

La notion des limites n^est pas spéciale à la Géométrie. Elle se retrouve dans les diverses branches des Mathématiques et, sous une forme parfois voilée, elle est Tidée maîtresse de l'Analyse infinitésimale. Mais son rôle dans la Géométrie est tellement considérable qu'il convient de la mentionner avec quelques détails.

Le mot de limite prête à Téquivoque. Dans le langage ordinaire, il désigne une barrière qui ne doit pas être franchie, mais qui peut être atteinte ; c'est dans ce sens qu'on parle de la limite d'un champ, d'un pays, des limites d'un pouvoir, d'une autorité. C'est une sorte de frontière jusqu'à laquelle, à la rigueur, on peut aller, à la condition de s'y tenir strictement. Les géomètres ont créé un nouveau sens. Pour eux la limite est un coniin auquel on ne peut pas accéder complètement; on en approche sans cesse, de plus en plus, mais on ne l'atteint jamais. Nous en avons vu deux exemples marquants, dans le parallélisme et dans la tangence. La sécante qui tend à devenir

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soit parallèle, soit tangente, ne le devient à aucun moment. La position dont elle approche appartient à une ligne d'espèce différente. Elle ne peut se confondre avec elle, sous peine de changer de nature ; elle en diffère aussi peu qu'on veut, mais elle en diffère toujours.

Si Ton n'est pas très net dans ces prémisses, on s'expose à beaucoup d'erreurs par la suite. Il faut éviter les locutions qui tendent à donner le change et à faire oublier la démarcation infranchissable qui existe et qui ne doit pas cesser d'exister entre la variable et sa limite.

La considération des limites peut être introduite avec fruit dans un grand nombre de phénomènes géométriques; elle facilite singulièrement des solutions qui se dérobaient aux anciennes méthodes. J'ai déjà eu l'occasion d'indiquer, et c'est là un point capital entre tous, qu'une courbe peut être envisagée comme la limite vers laquelle tendent les polygones, soit inscrits, soit circonscrits, dont les côtés diminuent indéfiniment (*). On aperçoit tout le parti qu'il est permis de tirer de ce grand principe. La mesure de

(1) Cette proposition est susceptible d'une démonstration rigoureuse. On prouve, d'une part,, que la longueur de la courbe est comprise entre les longueurs des périmètres

Taire d'une courbe pourra être ramenée à la mesure de Taire d'un polygone, et la mesure de Tare, de son côté, sera ramenée à la mesure d'un périmètre. Pour prendre l'exemple le plus simple, celui d'un cercle et des polygones réguliers appuyés contre sa circonférence, la mesure de ces derniers, très facile à obtenir par des procédés élémentaires, procurera celle du cercle. D'une manière générale, toutes les fois qu'une courbe ou une surface seront exprimées par des équations algébriques, le calcul du périmètre de Taire ou du volume se réduira, grâce au principe des limites, à des opérations à^ intégration. De même pour le phénomène de la tangence. Il est clair, d'après ce que nous avons déjà dit, que la tangente à une courbe est la limite d'un côté de polygone inscrit, puisque, ce côté diminuant, les deux points d'intersection tendent à se confondre en un seul. Si donc l'Analyse algébrique permet de calculer la direction de ce côté, il sera possible de connaître la direction de la tangente.

Je ferai une dernière remarque qui se rattache

inscrit et circonscrit, et, d'autre part, que la différence entre ces derniers peut être rendue moindre que toute quantité donnée.

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au concept de la courbure et qui en éclaire la signification.

Par un point d'une courbe, on peut imaginer une infinité de cercles tangents à la courbe ou ayant avec elle une tangente commune. Ces cercles ont tous leur centre sur la normale à la courbe, c'est-à-dire sur la droite menée perpendiculairement à la tangente, par le point de contact. Parmi eux, il en est un dont le contact est particulièrement intime ou qui tend davantage à se confondre avec la courbe aux environs du point de contact. Pour ce motif on le considère avec raison comme étant l'expression du degré de courbure de la ligne et on le nomme cercle de courbure; son rayon est le rayon de courbure de la ligne et sa longueur est la mesnre de la courbure. L'Analyse infinitésimale donne le moyen de la calculer et, par conséquent, jette un grand jour sur la notion un peu vague que nous avons tout d'abord du phénomène de la courbure.

La conception des limites a subi une transformation féconde, qu'il faut interpréter sainement si l'on ne veut pas aller au-devant de sérieux mécomptes. Les courbes, par exemple, étant les limites de polygones à côtés décroissants, sont

considérées comme composées, à la fin, de droites imperceptibles ou, selon l'expression consacrée, d'éléments rectilignes. Dès lors, la tangente a un élément commun avec la courbe.

Deux courbes tangentes ont un élément commun entre elles et avec la tangente. Le cercle est composé d'une infinité de triangles ayant leur sommet au centre et dont la base est un élément de la circonférence. L'erreur que cette assimilation entraînerait, si les éléments étaient finis, disparaît quand on passe à la limite ou que les éléments tombent au-dessous de toute grandeur assignable. Mais on ne doit pas perdre de vue que des locutions comme celle-ci : « la courbe est formée d'éléments rectilignes », ne sont qu'une manière abréviative de présenter le concept des limites; elles ne sauraient changer le fond des choses. La courbe ne se résout pas réellement en lignes droites, si petites qu'on les imagine; elle est, je l'ai dit souvent, d'une nature autre que la ligne droite, et reste toujours différente. Mais l'intervalle qui les sépare peut être atténué indéfiniment.

J'ai énuméré les principaux concepts de la Géométrie. On pourrait en citer d'autres, mais ils

me paraissent moins essentiels, moins immédiats et sont plutôt, à mon avis, des produits de la Science que des données fondamentales. Les vrais concepts correspondent à des notions générales, auxquelles la plupart des hommes ont l'esprit ouvert. Ces notions ont sans doute besoin d'être éclaircies et précisées, mais elles ont leur origine dans l'expérience universelle.

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