AXIOMES GÉOMÉTRIQUES OU PROPRIÉTÉS DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN

Les auteurs, depuis Euclide, ont continué de désigner sous le nom générique d'axiomes un certain nombre de vérités indémontrables par le raisonnement, qui sont continuellement invoquées au cours des démonstrations géométriques. Ces axiomes rentrent dans deux catégories fort différentes. Les uns sont d'ordre purement logique et n'appartiennent pas en propre à la Géométrie; ils trouvent leur emploi dans toutes les Sciences. Telles sont les évidences : « Le tout est plus grand que la partie » ; « Deux quantités égales à une troisième sont

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égales entre elles » ; « Deux quantités égales peuvent être augmentées ou diminuées de la même quantité sans cesser d'être égales ». La liste pourrait être allongée au delà même des bornes qu'elle reçoit dans les Traités ; car ceuxci sont loin d'énumérer toutes les vérités de cette nature sur lesquelles on a l'occasion de s'appuyer. Beaucoup d'entre elles sont admises implicitement et ne soulèvent aucune difficulté. Je ne m'occuperai pas de cette première catégorie d'axiomes, étrangers par leur origine à la Géométrie.

Les axiomes de la deuxième catégorie, au contraire, sont spéciaux à cette Science et, comme elle, prennent leur source dans l'expérience. C'est par l'observation du monde extérieur qu'on en a acquis la connaissance. La logique est impuissante à les établir. Les essais dans cette voie aboutissent invariablement à quelque pétition de principe. On trouvera cependant, dans la liste qui suit, un axiome susceptible d'une démonstration rationnelle, c'est-à-dire susceptible d'être rattaché à d'autres axiomes ou aux théorèmes qui en découlent. Mais le détour est très pénible, et le raisonnement est si compliqué qu'il me paraît tout à fait choquant de le faire figurer

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dans des préliminaires qui doivent s'imposer par leur simplicité et leur clarté. Je n'ai donc pas hésité à appuyer cet axiome sur l'expérience, au même titre que les autres. Où peut être Tinconvénient d'une telle manière de procéder? Dans une Science strictement logique, comme TArithmétique ou TAlgèbre, on s'interdit, cela va de soi, de recourir à l'observation. Mais dans une Science physique, où les bases sont forcément expérimentales, mieux vaut, je l'ai dit, faire un emprunt de plus à la Nature que d'accroître bénévolement les difficultés d'exposition au point d'obscurcir les idées et de rebuter les commençants.

Les principes (|ue je vais examiner mériteraient donc beaucoup mieux le nom de lois naiurelles. Je leur ai conservé celui d'axiome pour me conformer à l'usage; mais, afin de prévenir toute ambiguïté, j'ajouterai le qualificatif de géométrique. Ils se réduisent à un petit nombre de propriétés essentielles de la ligne droite et du plan. Un trait commun les distingue: ces propriétés, ou les aphorismes qui les expriment, bien que déduites de l'observation, sont tellement façonnées pour notre entendement qu'aussitôt formulées elles nous semblent évidentes en

soi. Cette impression tient, d'une part, à la clarté du sujet et, d'autre part, à la vérification inconsciente que nous en avons faite dès l'enfance. C'est ce qui explique que de très jeunes intelligences, remarquablement douées, Pascal, Galois, J. Bertrand, aient pu découvrir sans aucune aide les premiers théorèmes de la Géométrie.