D'UN POINT A UN AUTRE

La plus élémentaire expérience met en relief cette propriété. Si nous tenons, par exemple, un fil parfaitement tendu entre nos deux mains, nous constatons que toute tentative pour écarter le fil de sa direction et en faire une ligne brisée, nous oblige à rapprocher les mains, et cela d'autant plus que le fil est écarté davantage de sa direction primitive. La même expérience peut être opérée avec des appareils perfectionnés : la moindre déviation du fil entraînera toujours un rapprochement de ses points d'attache. Réciproquement, tant qu'un fil pris par ses deux extrémités n'est pas exactement tendu, mais conserve une

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forme vague, les points d'attache sont susceptibles de s'écarter; le maximum d'écart, celui qui marque l'arrêt des points d'attache, correspond à la forme rigide nommée par nous rectiligne. Cette forme est donc celle qui fournit le plus grand écart possible et par conséquent elle représente un chemin plus court que tout autre, qui pourrait être suivi entre les deux mêmes extrémités.

Cette vérité est souvent présentée comme évidente par elle-même, et comme découlant de l'impossibilité où nous sommes de concevoir les choses autrement. On assure qu'elle est tellement liée à la faculté de raisonner (ce qui tendrait à en faire un axiome d'ordre logique) qu' « un enfant et les animaux eux-mêmes, guidés par leur instinct, ne s'y trompent pas » : en présence d'un but qu'ils désirent atteindre, il suivent, dit-on, naturellement la ligne droite, si aucun obstacle matériel ne les en détourne. J'ignore si cette observation a été recueillie dans des conditions vraiment scientifiques, et si le sujet soumis à l'épreuve n'avait pas déjà eu l'occasion de faire son éducation pratique. J'ignore également si le but, vu de face, n'impressionne pas la rétine assez pour que le sujet obéisse inconsciemment

à cette cause toute physique. Use maintient dans la ligne qui correspond à cette impression ou qui lui fait voir constamment le but sous la même face. Un tel acte n'implique de sa part aucun jugement sur la brièveté relative du parcours. Quoi qu'il en soit, on ne court aucun risque à admettre que cette loi est prouvée par l'expérience. Les partisans mêmes de l'évidence intuitive ne sauraient s'en plaindre : ils y trouveront un surcroît de certitude.

Plusieurs géomètres, invoquant, d'ailleurs à tort, l'autorité d'Euclide, donnent cette proposition comme la définition même de la ligne droite. Sans doute elle ne contrevient pas aux règles d'une bonne définition, en ce sens qu'elle s'applique exactement à l'objet défini et ne s'applique qu'à lui. Mais elle n'en fournit pas la représentation. L'homme qui n'aurait jamais vu de ligne droite serait fort en peine de la tracer d'après les termes de la définition. C'est un peu comme si on lui demandait de décrire un cercle en lui indiquant seulement que le cercle enserre la plus grande surface dans un contour déterminé. Cette propriété, bien que caractéristique du cercle, n'en évoque pas l'image. Au contraire l'hésitation disparaît si l'on ajoute que tous les

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points sont à égale distance du centre. Il devient alors possible de le tracer. La ligne droite, plus simple que le cercle et même irréductible, ne peut être dépeinte par aucune de ses propriétés, car toute formule qui prétendrait la faire voir impliquerait la connaissance même de la forme rectiligne. Il faut l'observer directement, ainsi que je Tai indiqué avec insistance à Toccasion du concept.

Ce premier axiome, que je rattache à Texpérience, pourrait cependant être établi logiquement, non en vertu du principe souvent trompeur de r « évidence », mais par une série de déductions qui reposent sur les autres propriétés de la ligne droite et sur certaines considérations analytiques. A la rigueur donc, le nombre des propriétés essentielles, que j\ii porté à six, pourrait être ramené à cinq. Voici comment procèdent les auteurs qui préfèrent ne pas recourir à Texpérience.

i** On démontre, à Taide des seules propriétés Il et IV, plusieurs théorèmes, notamment celui-ci : « Dans un triangle le plus grand côté est opposé au plus grand angle »; d'où Ton

conclut que dans un triangle un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres et plus grand que leur différence, et finalement qu' « une ligne droite est moindre qu'une ligne brisée quelconque aboutissant aux mêmes extrémités ».

2° Ce point acquis, on substitue la courbe à la ligne brisée, et il faut prouver que cette courbe aussi est plus longue que la ligne droite qui en joint les deux extrémités. Ici l'on fait- appel à un principe très général, constamment invoqué dans l'Analyse infinitésimale, savoir que « dans une somme d'éléments infiniment petits on peut, sans changer la limite de cette somme, altérer chacun des éléments d'une fraction de lui-même infiniment petite ». En effet la différence totale qu'on introduit ainsi est moindre que la plus grande de ces fractions, multipliée par la somme des éléments. Mais celle-ci est finie, tandis que la fraction maxin\a est infiniment petite. Le produit est donc lui-même infiniment petit et ne saurait par suite influer sur la limite cherchée. Vient ensuite une démonstration assez laborieuse. Pour qu'on ne me soupçonne pas de la compliquer à dessein, je l'emprunte à l'un de nos plus distingués géo-

AXIOMES GÊOUéTRIQVES. 75

mètres, placé à un point de vue diflërent du mien (') :

« Supposons que Ton ait un triangle dont un seul angle soit infiniment petit. Le côté opposé à cet angle sera infiniment petit par rapport à chacun des deux autres^ et il en sera de même, à plus forte raison, de la différence de ces deux côtés par rapport à chacun d'eux. Nous énoncerons ce résultat d'une manière abrégée, en disant que les deux côtés qui comprennent Tangle infiniment petit diffèrent infiniment peu Vun de Vautre.

» 11 résulte de là que, si Ton projette, par des parallèles de direction quelconque, orthogonale ou non, une droite de longueur donnée sur un axe faisant avec cette droite un angle infiniment petit, la différence entre la droite et sa projection sera infiniment petite par rapport à chacune d'elles; en d'autres termes, la droite et sa projection différeront infiniment peu.

» Donc, si la droite qui ferme un contour polygonal fait avec chacun des côtés de ce con-

(M M. J. IIorKL, Essai criiique sur les principes f ondamentaujT de la Géométrie élémentaire, p. 86, a* édition, chez Gauthier-Villars, Paris.

tour des angles infiniment petits, la longueur de cette droite ne différera qu'infiniment peu de celle du contour polygonal.

» Cela posé, considérons un arc d'une courbe, que nous supposerons plane, pour plus de simplicité, et admettons que cet arc soit entièrement convexe (*). D'après les corollaires delà propoposition 20 du premier Livre d'Euclide, on voit : i^ que le contour d'un polygone inscrit dans l'arc convexe croît à mesure que l'on établit de nouveaux sommets intermédiaires, en subdivisant les arcs; 2** que le contour d'un polygone circonscrit au même arc diminue à mesure que l'on trace de nouveaux côtés, dont les points de contact subdivisent les arcs; 3® qu'un quelconque des contours inscrits est toujours moindre qu'un quelconque des contours circonscrits.

» On en conclut d'abord : 1° que les contours inscrits, dont on augmente le nombre des côtés suivant une certaine loi, allant d'une part toujours en croissant, mais restant d'autre part toujours moindres qu'un polygone circonscrit quelconque, tendront nécessairement vers une

(^) S'il ne l'était pas, on le décomposerait en portions convexes (Note de M. Houel).

AXIOMBS GEOMETRIQUES. 77

certaine limite linie, dépendante ou non de la loi de subdivision ;

» 2® Que les contours circonscrits, allant toujours en diminuant par la subdivision des arcs, et restant toujours supérieurs à un polygone inscrit quelconque, tendront aussi vers une certaine limite finie, dépendante ou non de la loi de subdivision.

» Il reste à prouver que tous ces contours, tant inscrits que circonscrits, tendent vers une seule et même limite, indépendante de la loi de subdivision, *

» Considérons un côté d'un contour inscrit, et un polygone inscrit dans Tare sous-tendu par ce côté. Si ce côté est assez petit, sa direction, ainsi que la direction d'un côté quelconque du polygone en question, fera un angle aussi petit qu'on voudra avec la tangente en un quelconque des points de Tare. Donc, d'après la proposition démontrée ci-dessus, le côté et le polygone diffèrent Tun de l'autre infiniment peu.

» Soient maintenant deux polygones inscrits quelconques, à côtés suffisamment petits. Si nous les comparons Tun et l'autre au polygone formé par la réunion de tous leurs sommets, et correspondant par conséquent à une subdivision

78 DE l'expérienck en géométrie.

de chacun des deux systèmes d'arcs, chaque côté de l'un quelconque des deux contours primitifs dilTérera infiniment peu de la portion correspondante du troisième contour. Donc, chacun des deux premiers contours différera infiniment peu du troisième, et par suite les deux premiers contours différeront infiniment peu l'un de l'autre. Donc ils ne peuvent'tendre que vers une seule et même limite.

» On étendrait de même ce résultat à deux polygones circonscrits, ou à un polygone inscrit comparé avec un polygone circonscrit.

» Ainsi se trouve établie l'existence de la longueur d'une courbe plane.

» Il en résulte en même temps :

» i^ Que cette longueur est plus grande que celle d'une ligne droite ayant les mêmes extrémités ;

» 2^ Qu'une courbe convexe est plus courte qu'une courbe quelconque qui l'enveloppe de toutes parts sans la couper, ou qui l'enveloppe en s'appuyant sur les mêmes extrémités ;

» 3® Que la limite du rapport d'un arc infiniment petit à sa corde est égale à l'unité (* ). »

(*) Les mots en italiques sont ainsi dans l'original.

Eh ! bien, je le demande, est-ce que la connaissance de cette propriété fondamentale de la ligne droite n'est pas antérieure, dans notre esprit, à la démonstration que je viens de rapporter? Faut-il être un géomètre exercé pour avoir la pleine conviction que la ligne droite est la plus courte des lignes menées entre deux mêmes points?

Est-ce que cette vérité n'a pas éclaté à nos yeux, dès la plus tendre enfance, par les expériences inconscientes et répétées que nous en avons faites ? Doit-on, par un respect exagéré de la logique, attendre de s'être fort avancé dans la Géométrie pour formuler un énoncé qui dès les premiers pas est sur toutes les lèvres? Et n'est-il pas préférable de mettre tout de suite cette loi sur le même pied que les quatre ou cinq autres de même valeur, qui servent de fondement à la Science de l'étendue? Aussi, ne suis-je point étonné que Legendre, malgré sa grande puissance d'analyste, ait admis cette propriété sans la discuter.

La ligne droite étant le plus court chemin d'un point à un autre s'offre comme l'expression naturelle de la distance entre ces deux points. Car si Ton n'adoptait pas la ligne droite, quelle autre

8o DE l'expérience en géométrie.

ligne choisirait-on? Et comment les distances pourraient-elles se comparer, entre des points inégalement éloignés? Il faudrait, de toute façon, que la ligne choisie fût constamment la même, par conséquent soigneusement définie, et en outre que ses parties fussent identiques ou superposables. C'est la condition indispensable pour qu'on puisse apprécier si une distance est double d'une autre. Or, en dehors de la ligne droite, nous ne connaissons que la circonférence qui remplisse cette condition. Mais cette circonférence devrait avoir le même rayon dans tous les cas, ce qui est manifestement impossible; on retombe donc sur la ligne droite, comme représentation et mesure de la distance. Ainsi se précise la notion précédemment acquise à l'aide d'un objet de forme invariable interposé entre les deux points. Suivant que cet objet remplissait exactement l'intervalle ou laissait un vide ou le débordait, nous avions l'impression de distances égales, ou plus petites, ou plus grandes. Désormais nous savons que nous pourrons les comparer au moyen des lignes droites tracées entre les points. Comme celles-ci sont superposables, applicables les unes sur les autres (nous y reviendrons tout à l'heure), chacune peut

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s^évaluer ou se mesurer par le nombre de fois qu'elle contient une droite déterminée prise pour unité. Dans la Géométrie pratique, cette unité, en France, est le mètre avec ses multiples ou ses sous-multiples. Dans la Géonjétrie théorique, on fait rarement usage d'une unité particulière; il suffît qu'on sache que cette unité est possible et que les autres droites lui sont implicitement rapportées.

La notion de distance ou de « plus courte distance » est utilisée dans des relations autres que celle de deux points. La distance d'un point à une droite est exprimée par la perpendiculaire abaissée du point sur cette droite; car cette perpendiculaire est plus courte que toute autre ligne menée du point à la droite ou que toute oblique. On s'en rend facilement compte en prolongeant la perpendiculaire de l'autre côté de la droite, d'une quantité égale, et joignant l'extrémité au pied de l'oblique. De la sorte on forme un triangle dont la perpendiculaire avec son prolongement est l'un des côtés, tandis que l'oblique du dessus et celle du dessous sont les deux autres côtés. Le premier côté, ou la perpendiculaire prolongée, est plus petit que la somme des deux autres côtés ou des deux