DE K

obliques. Mais celles-ci sont égales, car le triangle du dessous pourrait être superposé au triangle du dessus. Donc la perpendiculaire primitive est plus petite que l'oblique quelconque menée du point à la droite. La distance entre deux droites parallèles, qui par définition reste constante, est mesurée par la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de l'une des droites sur l'autre. On démontre par la suite que cette perpendiculaire l'est aussi par rapport à la première droite : ce qui fait dire que « la distance entre deux parallèles est mesurée par leur perpendiculaire commune ».

Deux droites non situées dans le même plan, et par conséquent non parallèles, n'en ont pas moins une perpendiculaire commune, mais une seule. Cette perpendiculaire unique est l'expression de la distance entre les deux droites, c'està-dire de la distance minima. Deux droites situées dans le même plan et non parallèles n'ont ni perpendiculaire commune ni distance minima.

La distance d'un point quelconque de l'une à l'autre est représentée par la perpendiculaire abaissée du point sur cette dernière droite: distance qui varie continuellement selon le point choisi. La distance d'un point à une courbe

s'entend de la droite menée à un point de la courbe tel que cette droite soit perpendiculaire à la tangente de la courbe en ce point. Par exemple la distance d'un point à un cercle se mesure par la droite menée du point vers le centre du cercle et arrêtée à la circonférence.

Les surfaces sont l'objet de remarques analogues. La distance d'un point à un plan n'est autre que la perpendiculaire abaissée du point sur le plan. Cette perpendiculaire peut toujours être menée et l'on sait qu'elle est caractérisée par la propriété de faire un angle droit avec toute ligne droite tracée par son pied dans le plan. La distance de deux plans parallèles est exprimée par leur perpendiculaire commune, et la distance d'un point à une sphère s'obtient en menant une droite du point vers le centre de la sphère.

La notion de longueuvy si répandue, est étroitement liée à celle de la ligne droite. La possibi lité de comparer les lignes droites a fait naître l'idée de longueur. La longueur d'un fil est l'étendue qu'il occupe quand il est tiré par ses deux extrémités et qu'il affecte la forme rectiligne. Deux fils sont d'égale longueur quand, tendus l'un et l'autre, ils aboutissent aux mêmes

84 DE l'expérience en géomêtrik.

extrémités. Un fil a une longueur moindre quand il n'arrive pas jusqu'à la même extrémité. C'est toujours la vue des droites qui nous fait parler de longueurs. Mais l'esprit va plus loin. Il fait de la longueur une propriété actuellement inhérente au fil. Il n'admet pas qu'il la perde quand il cesse d'être tendu, quand il est infléchi ou enroulé d'une manière quelconque sur lui-même — en supposant, bien entendu, que le fil soit inextensible, que l'efi^ort pour le tendre ne lui fasse pas dépasser l'extrémité à laquelle il aboutit par son simple développement rectiligne. Le fil qui cesse d'être droit conserve donc pour nous sa longueur intrinsèque. De là une notion plus complexe : celle de la longueur d'une courbe. Cette longueur est celle que prendrait un fil absolument flexible et inextensible, après avoir coïncidé exactement avec la courbe, en avoir épousé la forme dans ses moindres détails. Cette parfaite coïncidence n'est pas toujours possible à obtenir dans la pratique ; elle ne l'est même jamais, à moins que la courbe n'appartienne à un solide qui permette d'enrouler le fil tout autour. Mais possible ou non la coïncidence se conçoit et cela suffit pour que nous ayons la vision très claire de la longueur de la courbe.

On peut arriver à la même notion par un autre chemin, suivi de préférence par les analystes. Ils recourent à la méthode des limites. Ils reprennent l'image de la courbe transformée en contour polygonal à côtés très petits et c'est la somme de ces côtés qui, à la limite, représente la longueur de la courbe. Le Calcul intégral a des procédés pour déterminer la valeur numérique de cette somme. Mais c'est toujours le même concept : la longueur est finalement figurée par une ligne droite.

Le terme de « longueur » est susceptible d'une signification abstraite et plus générale. Employé seul, sans qu'on le fasse suivre de renonciation d'un objet, il désigne l'étendue indéfinie d'une droite tracée dans un sens quelconque et alors il devient synonyme de dimension. c( Les lignes, dit-on, n'ont qu'une dimension, la longueur; les surfaces en ont deux, longueur et largeur; les volumes en ont trois : longueur, largeur et hauteur ou épaisseur ». Ces locutions méritent qu'on s'y arrête.

Il est visible d'abord que la largeur et la hauteur ou épaisseur ne dilTèrent pas substantiellement de la longueur. Au fond, ce sont trois

86 DE l'expérience ex géométrie.

longueurs, auxquelles on donne des noms différents pour distinguer les sens suivant lesquels elles sont comptées. Dire qu'un volume a trois dimensions et n'en a que trois, signifie qu'il y a trois directions suivant lesquelles on peut cheminer dans l'intérieur du volume. Sur une surface on ne peut cheminer que dans deux directions et sur une ligne que dans une seule. Le fait est évident pour la ligne ; il l'est un peu moins pour la surface, à moins qu'elle ne soit plane, et il paraît assez obscur pour le volume ou du moins il ne devient clair qu'après certaines explications. Pour le plan, disons-nous, le fait est accepté sans difficulté. Pourquoi? Imaginons que le plan soit limité et affecte une forme régulière, par exemple, celle d'un rectangle. On peut d'abord parcourir un des côtés, qui figure la première dimension. On peut ensuite, d'un point quelconque de cette base, s'éloigner dans un sens perpendiculaire ou suivant la deuxième dimension et l'on rencontrera tout point. du rectangle. En d'autres termes, les divers points du rectangle sont déterminés par leur distance à cette base. On peut imaginer aussi que l'on parcourt l'autre côté du rectangle ou la deuxième dimension en emportant avec soi le premier côté ; on

engendre ainsi la surface dite rectangulaire. Do quelque manière qu'on s'y prenne, on retrouve deux dimensions et deux seulement. Si, au lieu d'un rectangle, on envisage un plan indéfini, le résultat est le même : on peut tracer une droite indéfinie quelconque, qui figure la première dimension, et une autre droite indéfinie perpendiculaire, qui figure la deuxième dimension. 11 n'est pas un point du plan qui ne soit rencontré quand on chemine d'abord sur l'une et ensuite sur l'autre dimension.

Si la surface n'est pas plane mais s'infléchit continuellement, on peut la considérer comme formée par un très grand nombre de facettes planes extrêmement petites. Chacune de ces facettes a deux dimensions comme le plan. La surface tout entière elle-même a deux dimensions, longueur et largeur, mais sans épaisseur. Cette locution ne veut pas dire, comme pour le plan, qu'en parcourant successivement deux droites rectangulaires on rencontrera tous les points de la surface; mais elle veut dire qu'en chaque point de la surface isolément on parcourt deux dimensions pour décrire l'élément superficiel (*).

(*) On pénètre plus intimement dans le phénomène en

De là on passe au volume, que je me figurerai d'abord sous la forme d'un parallélipipède droit. Les deux premières dimensions répondent à la base rectangulaire du parallélipipède. Tout autre point du volume est déterminé par sa distance à cette base ou par la troisième dimension. On peut également engendrer la base du rectangle en entraînant avec soi la première dimension le long de la deuxième, et puis entraîner avec soi ce rectangle le long de la troisième dimension et engendrer ainsi le parallélipipède. De ce cas particulier on conclut aisément au volume indéfini.

traçant sur la surface deux séries de courbes telles que, par chaque point de la surface, passe une courbe de chaque série, et une seule. Un point quelconque de la surface est ainsi défini par l'intersection des deux courbes, de familles différentes, qui y passent. Les quatre courbes qui passent par deux points quelconques forment un quadrilatère curviligne, et il suffit de cheminer sur deux côtés consécutifs de ce quadrilatère pour aller d'un point à l'autre. On peut donc, en partant d'un point particulier choisi une fois pour toutes, atteindre un autre point quelconque en cheminant successivement sur deux courbes de systèmes différents — de même qu'on atteint un point quelconque d*un plan, en partant de l'origine d'un système de coordonnées polaires et cheminant successivement suivant un rayon polaire et suivant un arc de cercle — . C'est ce qu'on exprime en disant que la surface courbe comme le plan a deux dimensions.

AXIOMES GÉOHÉTRIQI ES. 89

On remarquera que je suppose toujours les dimensions perpendiculaires entre elles. Cette manière de voir, non obligatoire, n'est cependant pas arbitraire. En effet, une première dimension étant établie, tout point du plan est particularisé par sa distance à cotte base, c'est-à-dire parla perpendiculaire menée du point à la base, ce qui conduit à figurer les deux dimensions comme rectangulaires. Sans doute le point pourrait être déterminé par une ligne faisant avec la base un angle quelconque, de grandeur convenue. Mais c'est cela qui serait arbitraire et qui contrarierait le concept de la distance d'un point à un autre. En réalité le choix d'axes rectangulaires, pour la détermination des points d'une surface ou d'un volume, est imposé par la nature des choses, telles du moins que nous les avons définies. L'adoption occcasionnelle d'axes obliques est un artifice qui peut faciliter la solution d'une question particulière, mais elle n'est point en harmonie avec l'idée fondamentale de dimension. Ce sont deux ordres d'opérations entièrement distinctes. On ne reste dans la donnée des dimensions que par l'emploi d'axes rectangulaires.

La plupart des Traités de Géométrie intro-

go DE l'expérience en géométrie.

duisent cette notion si importante sans aucune préparation et sous forme d'axiome. On débute par dire que « l'espace a trois dimensions, longueur, largeur et hauteur ou profondeur » ; que « les surfaces en ont deux », et que « les lignes n'en ont qu'une ». Il semblerait que la chose est évidente en soi ; tandis que des explications ne sont pas superflues. En ce qui concerne l'affirmation capitale : « l'espace a trois dimensions », il est d'autant plus nécessaire d'ajouter quelques commentaires, que la maxime ainsi présentée ne paraît pas correcte. L'espace, c'est-à-dire ce quelque chose d'infini en tous sens que nous désignons par ce mot, n'a pas à proprement parler de dimensions; comme tout ce qui est infini, il échappe à la classification. On ne peut donc pas dire, de piano, que l'espace, que l'étendue indéfinie a une longueur ou une largeur. Il faut entendre que toute portion délimitée de l'espace, tout volume fini possède trois dimensions ; et par conséquent, si l'on trace dans l'espace trois axes rectangulaires quelconques, on est assuré que tout point de l'espace peut être situé à l'aide de ces trois axes ou des trois dimensions qu'ils représentent. C'est là ce qui justifie la locution employée au sujet de l'espace.

AXIOMES GEOMETRIQUKS. 91

II. - D'UN POINT A UN AUTRE ON NE PEUT MENER QU'UNE SEULE LKîNE DROITE.

C'est encore là une vérité expérimentale qu'on présente trop souvent comme une de ces évidences que la raison proclame. Quelquefois on la regarde comme découlant de l'axiome précédent : « Puisque la ligne droite, dit-on, est le plus court chemin d'un point à un autre, elle est nécessairement unique ». Bien n'est moins certain a priori. Pourquoi n'y aurait-il pas plusieurs chemins minima, égaux entre eux, par conséquent? Sur une sphère, par exemple, il existe, entre les deux extrémités d'un diamètre, une infinité de chemins minima qui sont les arcs des grands cercles menés par ce diamètre. A la vérité, l'obligation de circuler sur la sphère change les conditions. Mais il faudrait expliquer tout cela, ce qui n'est pas facile, dans les préliminaires de la Géométrie. Je crois beaucoup plus sage de s'en référer à rexpérience. Elle n'est, d'ailleurs, pas longue à recueillir : elle accompagne la constatation de la plus courte

ontre nique ; mêmes inslrule plus

er la

éter-

delà

leux

dislance. Le fil tendu entre deux poi ipso facto que la position de ce fil e car d'autres fils tendus aboutissant a extrémités le recouvrefit exactement, ments les plus délicats ne décèleront p léger écart.

Deux points suffisent donc à déter position d'une droite entre ces points. La^ minent-ils aussi en dehors de ces points, et en deçà? En d'autres termes, deux droi ont deux points communs coïncident-ell toute leur étendue indéfinie? L'expérie montrerait encore. Quels que soient les points par lesquels on met en contact deux t rigides rectilignes, on reconnaît qu'elles coï cident dans toute leur longueur. On entreprend quelquefois de le démontrer par le raisonnement suivant : « Elevons par l'un des deux points une perpendiculaire à la partie commune ; cette perpendiculaire fera un angle droit avec chacun des deux prolongements. Donc ceux-ci se confondront; sans quoi l'un des deux angles droits serait plus petit que l'autre, ce qui est absurde ». Ce raisonnement serait rigoureux si les deux prolongements et la perpendiculaire devaient se trouver forcément dans le même plan. Or rien à

l'avance ne l'indique. Il faut donc renoncer à cette preuve.

On présente un autre argument qui ne me semble pas plus rigoureux. « La coïncidence, dit-on, entre deux points entraîne la coïncidence totale, car les points peuvent être choisis aussi loin qu'il plaît. » Sans doute, les points peuvent être choisis aussi loin qu'il plaît; mais, par cela même qu'on les suppose existants, ils sont à une distance finie l'un de l'autre et laissent en dehors toute l'étendue indéfinie. Qu'est-ce qui empêcherait qu'au delà des points fixés les droites ne se détachent comme les tiges d'une gerbe qui s'épanouit en dehors des liens. On objectera que les tiges sont flexibles et que les droites géométriques ne le sont pas. Mais c'est répondre à la question par la question, puisqu'il s'agit précisément de savoir si les droites ne sont pas susceptibles, à un certain moment, de s'infléchir et de se séparer.

En résumé, l'expérience est nécessaire pour établir la coïncidence.

Puisque je parle d'expérience, je tiens à en

bien préciser la portée, tant pour cet axiome que

pour le précédent et les suivants. Nous sommes

il ici dans la même situation que vis-à-vis de toutes

94 ^^ l'expérience en géométrie.

les lois physiques. Si bien conduites qu'aient été les observations, elle n'entraîneraient pas notre conviction sans retour, si des vérifications a posteriori^ obtenues sur une multitude de faits auxquels ces lois sont mêlées, n'en confirmaient pas la justesse. Les axiomes géométriques n'échappent pas au sort commun. Ils attendent, pour être proclamés absolument vrais, que des conséquences sans nombre se montrent d'accord avec la réalité. Ce travail a été plus rapidement fait pour ces lois spéciales parce qu'elles ont un degré de simplicité que n'atteignent presque jamais les autres lois physiques. Elles ont, en outre, ce privilège, au lieu d'étonner l'esprit, de le satisfaire par une sorte de révélation pressentie. Enfin, l'enchaînement des déductions est tellement serré, qu'aucune parcelle d'erreur ne saurait se glisser sans être immédiatement aperçue. Tout cela donne aux lois naturelles de la Géométrie un caractère particulier de certitude et explique le nom d'axiome qui, par privilège, leur a été accordé.

Puisque deux points déterminent la position d'une ligne droite dans toute son étendue, il s'ensuit que deux droites quelconques, tracées

AXIOMES GEOMETRIQUES. qS

comme on voudra dans l'espace, sont susceptibles de coïncider. En effet, on pourra toujours les amener à avoir un point commun et, une fois ce point commun obtenu, on fera tourner l'une des droites autour de ce point jusqu'à ce qu'un autre point de cette droite vienne se superposer en quelque endroit de la droite immobile (*). A ce moment précis, les deux lignes ayant deux points communs se confondront dans toute leur longueur. D'où cette conséquence capitale que toutes les lignes droites — sauf leur plus ou moins de grandeur — sont identiques, et qu'une portion quelconque de droite peut toujours être appliquée sur une autre droite. D'où, encore, les portions d'une même droite peuvent être appliquées indifféremment les unes sur les autres; ce qui équivaut à la possibilité pour une droite de « glisser sur elle-même ».

On peut dire aussi que deux droites — c'est la formule d'Euclide — « ne peuvent enclore un espace »; puisque, ayant deux points communs, elles se confondent rigoureusement.

Ces diverses propriétés et l'axiome qui les ren-

(1) Nous anticipons encore sur les propriétés du plan, mais c'est inévitable et sans nul inconvénient.

96 DE l'expériknck en géométrie.

ferme, bien que liées étroitement à la droite, ne suffiraient cependant pas à la caractériser ou à la différencier entièrement de toute autre forme. En effet, la circonférence d'un cercle ou les circonférences de même rayon donnent lieu aux mêmes constatations. Deux arcs (de même rayon) qui ont deux points communs peuvent coïncider dans toute leur étendue. Tous les arcs (de même rayon) sont identiques et peuvent s'appliquer les uns sur les autres. Un arc de cercle peut glisser sur lui-même, et tout le long de la circonférence. On voit dès lors combien on est mal fondé à s'emparer d'une de ces propriétés pour définir la ligne droite. Il ne faut pas dire, par exemple, avec certains auteurs : « La ligne droite est une ligne semblable à elle-même en tous ses points ( ' ) » ou « dont une portion peut glisser sur la ligne sans cesser de lui appartenir ». Ce sont là des définitions incomplètes et, partant, insuffisantes. Elles font simplement ressortir, par leur insuffisance même, les rapports profonds qui existent entre la ligne droite et le cercle et qui obligent à chercher d'autres pro-

(*) On prête une formule analogue à Euclide, mais rien ne prouve que la pensée du grand géomètre nous ait été fidèlement transmise.

priétés pour les distinguer. L'axiome premier et les deux suivants n'encourent pas le même reproche.

IIF. — UNE LIGNE DROITE PEUT ÊTRE PROLONGÉE INDÉFINIMENT DANS LES DEUX SENS.

. C'est certainement la propriété qui parait la plus évidente par elle-mome, et beaucoup se demanderont s'il est bien nécessaire d'en faire une loi naturelle. Je le crois, pour ma part, précisément parce qu'on a négligé de le faire et que, tout en le négligeant, on s'appuie implicitement sur cette loi; ce qui tendrait à accréditer l'idée qu'il s'agit là d'un axiome de raison. Je le crois encore parce que certains géomètres ont admis, à l'invei^se, que la longueur ou la distance pouvait avoir une limite supérieure.

La vérité est que notre notion de l'espace — je parle de la notion commune — entraîne Tinfinité et que dès lors nous ne comprendrions pas que certaines lignes ou certaines surfaces ne puissent pas se développer indéfiniment. Toutefois, pour ne parler que des lignes, nous conce-

DK F.

vons qu'il en existe de fermées ou qui reviennent sur elles-mêmes, comme un cercle, une ellipse, une spirale. Celles-là ne traversent pas l'espace de part en part. D'autres, au contraire, vont indéfiniment devant elles. La ligne droite est du nombre. Mais elle n'est pas seule : une multitude de courbes hyperboliques, paraboliques, sinusoïdales, etc., font de même. Qu'est-ce qui nous prouve a priori que la ligne droite en particulier n'est pas fermée et ne revient pas sur ellemême? Rien, si ce n'est l'expérience. D'abord elle n'est pas fermée, comme le cercle, l'ellipse ; car, si elle l'était, une autre droite, également fermée, pourrait la couper en deux points : résultat contradictoire à l'axiome expérimental ci-dessus, aux termes duquel deux droites qui ont deux points communs coïncident. La ligne droite, sans être fermée, peut-elle rentrer sur elle-même, ce qui l'empêcherait de s'étendre à l'infini dans l'espace? Il semble bien qu'une telle configuration ne se concilierait pas avec notre concept de la ligne droite. Mais prenons garde que ce concept ne se forme qu'à la suite de nos impressions physiques. Si donc nous n'imaginons pas la ligne droite comme pouvant rentrer sur elle-même, c'est, il faut bien le dire, parce que

AXIOMES GÊOMÊTRIQrES. 9<)

nous n'avons observe rien de semblable el qu'il nous apparaît que tOHte lijçne offrant celle propriété à quelque degré serait dés lors susceptible d'être coupée en deux poinls par une ligne identique, pbénoniéne impossible cbez les lignes droites, en vertu de Taxiome précité. (Test donc rexpérience qui, en dernière analyse, prononce. Ce point est essentiel et, selon moi, ne doit pas être laissé dans Tombre.

La ligne droite jouissant, dans notre esprit, de la propriété de pouvoir s'étendre sans limite, on en déduit, sans le dire formellement, une foule de conséquences. D'abord, toutes les fois que la question se présente, comme pour les parallèles et les asymptotes, on n'est pas tenu d'assigner des bornes à la figure. Ensuite, ce qui est encore plus général, on peut tracer dans l'espace des axes rectilignes indéfinis et rapporter à ces axes la position de tous points de l'espace, si éloignés qu'ils soient. C'est là un avantage de premier ordre. Il est clair, par exemple, que si ces axes étaient analogues à des arcs de cercle ou d'ellipse, même avec un très grand rayon, ils embrasseraient toujours un espace limité et, par conséquent, ne permettraient pas l'enregistrement des points les plus éloignés.

lOO DE L EXPERIENCE EX GEOMETRIE.