S EN RAPPROCHER, ET RÈCJPROQUEMENT

Soient deux droites situées dans le même plan, et supposons que l'une d'elles s'écarte de plus en plus de l'autre, à mesure qu'on se dirige, par exemple, de gauche à droite. La progression de l'écart se traduira par rallongement dos perpendiculaires abaissées des divers points de la première droite sur la seconde. La propriété énoncée consiste en ce fait qu'après avoir rencontré un certain nombre de perpendiculaires croissantes, on n'en rencontrera pas, en continuant d'aller dans le même sens, qui présentent

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le phénomène inverse, c'est-à-dire qui se mettront à décroître. La vérification expérimentale est facile : aussi loin qu'on prolonge les droites, on constate qu'en effet les perpendiculaires ne cessent pas d'augmenter. La croissance est plus ou moins rapide selon que l'inclinaison mutuelle des lignes est plus ou moins accentuée, mais elle ne s'arrête jamais et, avec des instruments suffisamment délicats, on la mettrait en relief pour les inclinaisons les plus faibles. L'extension du champ d'expérience n'amenant aucune défaillance dans la loi, on est en droit de conclure qu'elle est vraie pour toute distance ou absolument générale.

Cette propriété est du même ordre que les précédentes ; elle est non moins simple et s'harmonise aussi bien avec la nature de notre esprit. On peut dire qu'aussitôt signalée elle apparaît comme nécessaire. Cette sorte d'évidence, a posteriori y tient à ce que nous possédons déjà le type de la ligne droite et que sa manière d'être nous est devenue familière. Une propriété nouvelle qui vient à être énoncée à son sujet, loin de nous étonner, semble rentrer dans l'idée générale que nous nous sommes formée et nous n'éprouvons pas le besoin d'une vérification directe.

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Nous devons faire une sorte d'effort sur nousmêmes pour juger utile d'en appeler à Texpèrience.

La loi actuolle, quand on la rej^arde de près, est le complément naturel des quatre premières. Elle achève de peindre la ligne droite. Jusqu'ici nous avions envisagé cette forme en soi, isolement. 11 restait à apprécier le rapport mutuel de deux droites, à préciser la notion de convergence ou de divergence indéfinie, qui nous paraît inséparable du type et qui le montre sous son dernier aspect. Deux lignes quelconques n'ont pas forcément ce genre de relation. Après s'être éloignées Tune de Tautre nous comprenons fort bien qu'elles puissent se rapprocher, comme font, par exemple, les deux moitiés d'une ellipse ou d'une circonférence. Mais dans le concept de la ligne droite, tel (jue les propriétés précédentes Font fixé dans notre esprit, s'introduit une idée de constance ou d'uniformité, qui paraît incompatible avec des alternances de rapprochement et d'éloignement. Ce sentiment ne nous dispense pas, bien entendu, pour que nous ayons pleine sécurité, d'opérer un contrôle aussi rigoureux que possible. J'ai voulu seulement expliquer pourquoi cette propriété s'offre à nous sous le

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couvert de l'évidence et se fait si facilement accepter.

Elle n'est pas d'ailleurs exclusive à la ligne droite, du moins dans les termes où je l'ai présentée. Un grand nombre de courbes, par exemple, les branches d'une hyperbole ou d'une parabole, la possèdent aussi; elles s'écartent indéfiniment Tune de l'autre. Ce qui différencie l'allure de ces courbes de celle de la ligne droite, c'est que chez cette dernière l'écartementest non seulement progressif mais régulier, j'entends proportionnel à la longueur du parcours, ainsi qu'on le démontre plus tard. Mais nous n'avons pas besoin ici d'une telle précision : l'axiome se borne à la constatation du phénomène de la divergence dans sa généraUté.

Cette propriété est susceptible d'une démonstration logique ou peut être rattachée aux précédentes, dans un cas : lorsque les deux droites ont un point de rencontre certain, lorsqu'on est en mesure a priori d'en affirmer l'existence; en d'autres termes, lorsqu'on sait qu'elles forment un angle. En ce cas, on fait tourner l'angle autour d'un de ses côtés et on le rabat sur le plan, autant de fois qu'il est nécessaire pour revenir au point de départ. Un raisonnement indépendant de

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toute expérience directe et que je n'ai pas à reproduire, permet dV^tablir la croissance continue des perpendiculaires.

On remarquera que je viens de distinguer entre le phénomène de la convergence pure et simple et le phénomène de la rencontre positive. En effet, il n'est pas évident en soi que deux droites qui se rapprochent de plus en plus se rencontreront nécessairement, et, d'autre part, les observations physiques n'en procurent pas toujours la preuve. Nous pouvons bien constater expérimentalement que, si lente que soit la variation de grandeur des perpendiculaires, elle s'exerce sans cesse dans le même sens, mais nous ne pouvons pas constater toujours qu'elle amènera la rencontre. Car si les deux droites, dans la région limitée où nous opérons, sont très éloignées l'une de l'autre, et si leur convergence est très faible, la rencontre, en admettant qu'elle ait lieu, se dérobera à nos moyens d'investigation, elle se produira hors de notre portée. On saisit la nuance, elle est essentielle : nous observons physiquement la convergence, mais nous n'observons pas la rencontre, quand elle est trop lointaine. Nous restons à cet égard dans le même

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doute que s'il s'agissait de deux lignes asymptotiques ; nous voyons celles-ci se rapprocher, mais nous n'avons pas le droit de conclure qu'elles se rejoindront, et, en fait, elles ne se rejoignent pas. Si les droites se rejoignent, en vertu de la convergence, c'est parce qu'elles se rapprochent selon la loi particulière que j'ai mentionnée plus haut : celle de la proportionnalité. Mais, pour le moment, nous ne connaissons pas cette loi, et il serait vraiment excessif de la demander à l'expérience, car elle exigerait des mesures trop précises pour rétablissement d'un axiome.

Rappelons-nous que la certitude des lois naturelles n'est complète que si leurs conséquences logiques sont constamment d'accord avec les faits. Il faut se tenir en garde contre les possibilités d'erreurs qui se glissent dans les observations les mieux conduites. Quand on détermine des valeurs numériques, une petite fraction, variable selon l'observateur et les instruments dont il dispose, demeure toujours indécise. Les chances d'exactitude augmentent considérablement si l'on aboutit à des relations très simples; si l'on trouve, par exemple, que l'action est égale à la réaction, que la vitesse acquise demeure constante, que des droites qui ont deux

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points communs coïncident, que l'écartement de deux droites augmente sans cesse, etc. Déjà, il serait plus difficile d'établir expérimentalement que cet écart est proportionnel au parcours parce que quelque autre loi très rapprochée pourrait également convenir. Ce seraient les vérifications a posteriori qui permettraient de prononcer.

L'axiome actuel fournit la démonstration de de la très importante proposition que j'ai par avance admise, quand j'ai défini les parallèles, à savoir qu'il est possible de tracer deux droites qui restent toujours à la même distance.

Menons, en effet, ces deux droites perpendiculairement à une troisième. Si elles se rapprochaient dans la partie supérieure (nous supposons, pour faciliter le langage, la perpendiculaire commune horizontale), elles devraient se rapprocher aussi dans la partie inférieure. Pour s'en convaincre, il suffit de faire tourner la figure autour de la perpendiculaire commune et de la rabattre en dessous. Le rapprochement qui s'est manifesté en haut se reproduira exactement en bas; d'autre part, les droites rabattues sont les prolongements des droites primitives, puisqu'elles font des angles droits avec l'axe de rota-

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tion. On aurait donc, si l'on observe l'ensemble de la figure de haut en bas ou de bas en haut, ce spectacle de deux droites qui, après s'être écartées l'une de l'autre, en allant vers la perpendiculaire commune, se rapprocheraient ensuite, à mesure qu'elles s'en éloignent; ce qui est contraire à l'axiome. On montrerait de même qu'elles ne peuvent pas s'écarter l'une de l'autre, à mesure qu'elles s'éloignent de la perpendiculaire commune. Donc, elles restent toujours à la même distance. Ce théorème n'est, on le voit, que Taxiome lui-même, sous une autre forme. Mais la forme n'est pas indifférente. L'esprit est peutêtre plus frappé de l'impossibilité, pour une droite, de s'éloigner et de se rapprocher successivement d'une autre droite, que de l'obligation de demeurer à la même distance. Car on a toujours présent l'exemple des lignes asymptotiques qui, bien que ne se rencontrant pas, ne demeurent pas à la même distance.

Il va de soi que, par un même point, il ne peut être mené qu'une seule parallèle à une droite donnée. Car si l'on tentait d'en mener une seconde, celle-ci, faisant un angle avec la première, ne pourrait comme elle demeurer à la même distance de la droite donnée et, par consé-

quent, ne remplirait pas la condition du parallélisme.

Par là se trouve assise la théorie des parallèles. Elle repose, on le voit : i° sur le caractère de la définition, aux termes de laquelle les parallèles i^ sont pas des droites « qui ne se rencontrent jamais », mais des droites « qui restent toujours à la même distance » ; 2"* sur le présent axiome ou sur la propriété en vertu de laquelle une droite ne peut s'éloigner et se rapprocher successivement d'une autre droite, située dans le même plan.

Les géomètres n'ont pas coutume de comprendre cet axiome parmi ceux qu'ils énumèrent. Aussi, quand ils veulent constituer la théorie des parallèles, ils se trouvent en présence d'une difficulté insurmontable. Euclide, qui le premier l'a ressentie et l'a mise en relief, a voulu y parer en introduisant, sous le nom de postulatum ou de dcniandc, une proposition non démontrée qu'il eût mieux fait d'intituler nettement axiome, comme les autres propriétés de la ligne droite. Ce terme de postulatum a fait naîtr.e l'illusion que la proposition attendait sa justification logique et qu'il dépendait de la

sagacité des géomètres de la trouver. Le nombre des tentatives opérées dans ce but est incalculable, et toutes ont été également infructueuses. Aujourd'hui Ton sait que la démonstration tant cherchée est impossible et qu'il s'agit bien de l'un des attributs de l'espace illimité q| sans courbure dans lequel nous vivons. Pour ma part, j'admets l'existence de cet attribut dans toute sa rigueur, et alors la question qui se pose est celle de savoir sous quelle forme il convient de présenter Taxiome pour qu'il soit le plus aisément accepté. Car il ne suffit pas qu'un principe soit vrai; nous aimons encore à le rencontrer sous ces apparences de simplicité et de clarté que nous confondons si volontiers avec l'évidence et qui achèvent d'entraîner notre adhésion.

Le reproché qu'on peut faire à l'énoncé d'Euclide c'est de manquer en partie de cet avantage. Ne le cédant en rigueur à aucun de ceux qui ont été proposés depuis, il est moins saisissant que tels d'entre eux et il triomphe moins rapidement des scrupules. Dire que « si deux droites font avec une troisième des angles intérieurs dont la somme soit inférieure à deux angles droits, elles devront se rejoindre », pro-

voque au premier abord de Thési talion. La disposition de la figure est un peu compliquée et Ton attend un commentaire. Nous ne sommes pas très surpris que tant de géomètres aient poursuivi une démonstration, qu'Euclide lui-même se réservait peut-être de trouver plus tard. La formule préférée par Legendre, à savoir que « la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits », n'est pas plus évidente. Aussi a-t-il cru devoir en donner la preuve ; mais cette longue argumentation, malgré l'autorité de son auteur, est maintenant abandonnée. Un troisième énoncé, qui s'est à peu près substitué aux deux autres est celui-ci : « Par un point donné on ne peut mener qu'une seule parallèle à une ligne droite ». Dans ces termes, l'axiome a le mérite d'être très net et très facile à saisir. Mais il oflVe un point faible, par où le doute a pénétré. En effet, il n'est pas manifeste que deux droites, partant du môme point et s'écartant très peu l'une de l'autre, ne pourront pas s'abstenir toutes deux d'en rencontrer une troisième ou ne lui seront pas simultanément parallèles (le parallélisme étant, dans ce système, défini par l'absence d'intersection). On se heurte toujours à cet obstacle : Qu'est-ce qui empêche deux droites

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ii4 DE l'expérience en géométrie.

de se rapprocher indéfiniment Tune de l'autre ^

sans arriver à se rencontrer?

En regard de ces diverses formules et de quelques autres moins répandues, il me semble que celle que je propose n'est pas sans avantage. Personne, si je ne me trompe, ne songera à s'élever contre cette assertion qu'<( une droite qui a commencé par s'éloigner d'une autre droite ne change pas ensuite d'allure pour s'en rapprocher ». Cette constance de divergence ou de convergence apparaît comme un attribut j'allais dire nécessaire de la ligne droite. Il rentre du moins si naturellement dans la donnée générale de cette forme que notre adhésion est immédiate et que nous nous croirions presque dispensés de recourir à une vérification expérimentale si les règles d'une bonne méthode ne nous en faisaient un devoir.

Quand on renonce à s'appuyer sur le présent

axiome — ou sur tout autre équivalent — on est rejeté vers la Géométrie non-euclidienne de Lobatchevski, d'après laquelle plusieurs parallèles peuvent être menées à une droite donnée par un point donné. Comme conséquence, la somme des angles d'un triangle cesse d'être

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égale à deux angles droits, et il n'existe plus de figures semblables. A la vérité cefe divergences avec la Géométrie ordinaire n'éclatent que dans des figures d'une si grande dimension qu'elles échappent à notre contrôle. Même dans les triangles astronomiques, la différence entre la somme des angles d'un triangle et deux droits est insensible. Néanmoins, au point de vue dogmatique, on sent toute l'importance du changement et par suite la haute utilité de Taxiome ou du postulatum d'Euclide.

VI. - [)ANS U\ PLAN ON PEUT TRACEU DES LIGNES DROITES DANS TOUS LES SENS.

Ce n'est pas là une définition, mais un axiome ou une propriété fondamentale du plan. N'oublions pas que le plan a été, comme la ligne droite, reconnu parle témoignage des sens : u Le plan, avons-nous dit, est une surface semblable à celle que nous montre une eau tranquille, de faible étendue. » Cette surface dont nous vovons la reproduction artificielle autour de nous et que la Nature a prise pour modèle, dans la confection

iiG DE l'expérience en géométrie.

de certains minéraux, jouit de la propriété remarquable C^ue par un quelconque de ses points on peut toujours mener une ligne droite qui s'y trouve entièrement contenue. Pour s'en assurer il suffît de prendre une tige rigide ou une règle métallique, façonnée pour coïncider à l'occasion avec un fil tendu, et de la porter sur la surface. Dans quelque sens qu'on l'y couche, on constatera qu'elle s'applique exactement sur elle. On n'apercevra pas un seul vide ou jour entre la règle et la surface. On peut aussi, sur les deux bords d'un bassin rempli d'eau, tendre un fil délié; il rasera strictement en tous ses points la surface de l'eau. Enfin, si de l'extrémité d'un plan on regarde un objet à une assez grande distance, faisant à peine saillie sur le plan, le rayon visuel qui, on le sait, se propage en ligne droite se confondra avec le plan dans tout son parcours. C'est même en s'aidant soit du rayon visuel, soit d'une règle rigide, soit d'un fil à plomb, qu'on contrôle à tout instant la surface qu'on s'évertue à rendre plane et qu'on parvient à lui donner cette régularité de forme que nous admirons dans une table de marbre ou dans une glace bien polie.

Plusieurs auteurs, fidèles à la méthode qu'ils