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ont suivie pour la ligne droite (définie par eux : la ligne la plus courte entre deux points), définissent le plan : « une surface telle qu'une droite peut s'y appliquer dans tous les sens ». Cette méthode a un double inconvénient : d'une part, la définition ne fait pas voir le plan, n'évo(jue pas son image; 2^ elle repose sur la propriété même qu'il faudrait établir : car, ainsi que l'a déjà fait observer Gauss, il n'est pas évident a priori qu'il existe une surface susceptible de recevoir dans son intégrité l'empreinte d'une ligne droite quelconque. Cette propriété qui paraît si simple, par suite de l'usage qu'on en fait, devient, au contraire, fort discutable quand on l'examine in abstracto^ en dehors de toute expérience. On se représente mal la possibilité d'appliquer exactement une droite en tous sens et assurément, si Ton n'avait pas déjà vu un plan, on mettrait en doute son existence. L'emploi d'une telle définition oblige donc immédiatement à démontrer la propriété même. Si l'on ne l'admet pas comme un fait physique, il faut alors procéder par le raisonnement. Pour ma part, je ne connais pas de démonstration inattaquable et je ne crois pas qu'on puisse en formuler une, parce que nous sommes ici en présence d'une loi, à mon avis,

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irréductible. Le plan a son existence et ses propriétés tout comme la ligne droite ; ils ne dérivent pas l'un de l'autre. La Nature n'engendre pas le plan au moyen de la ligne droite ; elle le crée directement. C'est directement qu'il le faut envisager, si l'on place dans le monde extérieur les bases de la Géométrie.

Je ne suis donc pas disposé à accepter, en tant que définition, les divers modes de génération auxquels on a recours pour en déduire les propriétés fondamentales du plan. Un des plus usités consiste à présenter le plan comme dû à la rotation d'une droite autour d'un axe auquel elle est perpendiculaire. Certes, la surface ainsi engendrée est plane ; mais n'est-ce pas un plan particulier et tous les plans quelconques lui sont-ils identiques ? Toutes les droites qui divergent du centre de rotation ou toutes les positions successives de la droite génératrice sont contenues dans la surface ; mais qu'advient-il de toute autre droite ? Peut-on affirmer, parce qu'elle coupe deux rayons, qu'elle est contenue entièrement dans la surface ? Oui, si l'on a déjà établi qu'une droite qui a deux points dans un plan s'y trouve intégralement . Mais cela , c'est la propriété même du plan, résultat de l'observation. Le

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mode de génération ne la met pas en évidence. On dit aussi qu'un plan est la surface engendrée par une droite qui glisse sur les deux côtés d'un angle. Indiscutablement, la droite dans toutes ses positions est contenue dans la surface et il semble bien, dès lors, qu'une ligne droite menée d'un point quelconque d'un des côtés sur un point quelconque de l'autre côté, ou une ligne droite de direction quelconque est contenue dans le plan. Mais d'abord il faudrait excepter les lignes menées d'un point quelconque d'un des côtés parallèlement à l'autre côté, car ces droites pourraient n'avoir qu'un point commun avec la surface. En outre, et c'est peut-être là l'objection la plus grave, qu'est-ce qui prouve qu'une droite glissant sur les deux côtés d'un angle engendrera la même surface, quelle que soit la manière dont le glissement aura lieu? Par exemple, une droite qui tourne autour d'un point, pris sur l'un des côtés, en s'appuyant sur l'autre côté, engendre-t-elle nécessairement la même surface que si, prenant son centre de rotation sur ce dernier côté, elle avait tourné en s'appuyant sur le premier? Cela n'est pas évident, à moins qu'on n'ait déjà dans l'esprit que les deux côtés d'un angle déterminent un plan, c'est-à-dire à moins

que l'on n'ait déjà la notion du plan. Je pourrais multiplier les citations et je crois qu'il apparaîtrait clairement que rien ne supplée à l'observation physique et à la constatation directe de la propriété fondamentale.

De ce qu'une droite quelconque peut s'appliquer dans un plan, il s'ensuit qu'une droite qui a deux points dans un plan s'y trouve entièrement contenue. Il s'ensuit aussi que, pour aller d'un point à un autre du plan, par la plus courte distance, il faut cheminer dans le plan, ou que le plan est le lieu géométrique des plus courtes distances entre tous ses points. On peut dire encore que le plan est le lieu des plus courtes distances entre deux droites (qui y sont contenues), comme la ligne droite est la plus courte distance entre deux points. Au fond, ce ne sont là que des paraphrases de la même propriété.

On trouve aisément de nombreuses analogies entre les propriétés du plan et celles de la ligne droite. De même qu'entre deux points on ne peut mener qu'une seule ligne droite, de même entre un point et une droite on ne peut tracer qu'un seul plan. On peut d'abord en tracer un ; car un plan contenant toutes sortes de lignes droites, il

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est loisible de faire passer un plan par la droite donnée, puis de le faire tourner autour de cette droite jusqu'à ce qu'il rencontre le point donné. Mais on ne peut tracer un second plan dans les mêmes conditions, car ces deux plans ayant une ligne droite commune, on pourrait joindre un point quelconque de celle-ci au point donné, dans chacun des deux plans, et Ton aurait ainsi deux droites distinctes entre deux mêmes points, ce qui est contraire aux propriétés reconnues de la ligne droite. On présente parfois cette dernière partie du raisonnement sous une forme qui paraît plus simple, mais qui n'est pas rigoureuse. Après avoir fait tourner le plan jusqu'à la rencontre du point donné, on ajoute : « pour peu qu'on fasse tourner le plan davantage, il abandonnera le point fixé; donc il n'existe qu'un seul plan, etc. » Mais on commet là une pétition de principe, car, sans faire tourner le plan davantage, il pourrait y avoir deux plans distincts contenant à la fois le point et la droite; or il s'agit justement de prouver que ces deux plans se confondent.

La même argumentation prouve que les deux plans, qui se confondent entre le point et la droite, ne peuvent pas se séparer ni en deçà ni

au delà; car, s'ils se séparaient, deux droites passant par le point donné et par un même point de la droite donnée se sépareraient également, ce qui est encore contraire aux propriétés de la ligne droite. Donc deux plans qui ont un point et une droite en commun ou qui ont trois points communs coïncident dans toute leur étendue.

Donc aussi trois points sont nécessaires et suffisants pour déterminer la position d'un plan, tout comme deux points déterminent la position d'une ligne droite. Pour la même raison encore, un plan peut être prolongé indéfiniment, en tous sens, sans jamais revenir sur lui-même, à l'instar d'une surface courbe. Car s'il revenait sur luimême, on pourrait tracer dans ce plan des lignes droites qui offriraient le spectacle de revenir sur elles-mêmes, ce qui est contraire à l'axiome m. Enfin, il est permis de dire que tous les plans sont identiques; car on peut les transporter l'un sur l'autre de manière qu'ils aient une droite commune et un point commun. Or, dans cette situation, ils coïncident entièrement ou se confondent en un seul et même plan.

Cette dernière propriété est commune aux surfaces sphériques de même rayon. On peut les placer l'une sur l'autre, de telle sorte qu'elles

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aient trois points communs, et alors elles se recouvrent exactement. Donc, de ce que deux surfaces qui ont trois points communs coïncident, on ne peut conclure qu'elles sont planes. La proposition directe, à savoir : « deux plans qui ont trois points communs coïncident » est vraie; mais rinverse : « deux surfaces qui, ayant trois points communs, coïncident, sont planes », ne Test pas.

Un plan est identique à lui-même en toutes ses parties. Car on peut toujours prendre une portion d'un autre plan et la porter successive-' ment en tous les endroits du plan; on est sûr qu'elle s'y applique exactement. On exprime la même idée en disant qu'un plan peut glisser sur lui-même, comme le fait une ligne droite, sans se déformer ou sans manquer d'adhérer. C'est encore là une propriété qui n'est pas exclusive au plan et qui se retrouve chez une surface sphérique : on peut faire glisser une portion quelconque de celle-ci sur tout le reste de la sphère, sans qu'elle cesse de coïncider.

Enfin une portion de plan peut tourner autour d'une droite quelconque située dans le plan et prise comme charnière, et se rabattre sur le plan de manière à coïncider exactement avec lui. En

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effet, si l'on coupe cette charnière par une perpendiculaire située dans le plan et qu'on procède au rabattement, quand celui-ci sera effectué — soit qu'on ait fait tourner de gauche à droite, soit qu'on ait fait tourner de droite à gauche — les deux parties de la perpendiculaire s'appliqueront exactement l'une sur Tautre. Et comme deux droites déterminent la position d'un plan, il s'ensuit que les deux zones planes, ainsi rabattues, contenant chacune l'axe de rotation et la perpendiculaire, se confondront rigoureusement, soit que le rabattement ait eu lieu en dessus, soit qu'il ait eu lieu en dessous. On voit aussi qu'un plan peut être retourné ou placé sens dessus dessouSy sans qu'il en résulte aucun changement dans les relations géométriques. Cette propriété, de pouvoir coïncider par voie de rabattement ou de retournement, est spéciale au plan. La surface sphérique ne la possède pas : on peut, comme nous l'avons dit, faire glisser la sphère sur elle-même, mais on ne peut pas la retourner ou la rabattre, parce que la concavité et la convexité se font opposition. Le plan est la seule surface qui n'ait pas de concavité ou de convexité.

Constatons, pour clore cette série, que deux

plans se coupent toujours suivant une ligne droite. Chacun d'eux peut tourner autour de cette droite et être amené à coïncider avec Tautre. Autant de plans qu'on voudra peuvent être réunis par une charnière commune ot se superposer comme les feuillets d'un livre — avec cette différence qu'ils n'engendrent aucune épaisseur, les surfaces accumulées étant idéales.

Remarquons, en passant, qu'une proposition que j'avais implicitement admise se trouve actuellement justifiée, à savoir qu'une droite qui coïncidait d'abord avec une autre et qui se relève ensuite pour former un angle peut, en continuant sa rotation autour du sommet, être appliquée exactement sur le prolongement de la droite.

Car toute l'opération peut être effectuée dans un plan et, dès lors, la droite mobile devra, dans la suite de sa rotation, rencontrer en quelque point le prolongement de la droite fixe ; or ayant avec ce prolongement deux points communs elle coïncidera entièrement avec lui.

Toutes les propriétés que je viens d'énuméror se déduisent, on le voit, d'un axiome unique, tandis que les propriétés analogues de la ligne droite se rangent sous plusieurs axiomes dis-

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tincts. Cela tient à ce que l'axiome fondamental du plan introduit la ligne droite et même les lignes droites, de telle sorte que le plan bénéficie de toutes les relations existant entre elles. II n'est donc pas surprenant que les propriétés du plan soient connexes et se résolvent par une explication commune, laquelle ferait défaut si la première propriété observée n'impliquait pas l'existence des lignes droites.

Cette même raison rend inutile l'intervention d'un axiome spécial, analogue au v% en ce qui concerne le parallélisme de deux plans ou le parallélisme d'une droite avec un plan — ce parallélisme étant d'ailleurs défini, comme celui des lignes droites, par la permanence de la distance ou par l'égalité des perpendiculaires abaissées sur le plan.

On démontre en Géométrie que toute droite perpendiculaire à deux autres qui passent par son pied dans un plan est perpendiculaire à toutes celles qu'on voudrait mener dans le plan, et que dès lors il est toujours possible d'ériger par un point donné une perpendiculaire à un plan donné. Sans entrer dans cette démonstration, je rappellerai que la Nature nous offre le spectacle d'une telle perpendicularité au moyen d'un fil à plomb

suspendu sur une surface parfaitement horizontale, celle d'une eau tranquille.

Pour tracer un plan parallèle à un plan donné, il suffira que les deux plans soient perpendiculaires à la même ligne droite. Ils rempliront par cela même la condition de rester toujours à la même distance Tun de l'autre. En effet, par la perpendiculaire commune faisons passer un troisième plan qui découpera sur les deux premiers deux droites à angle droit avec la perpendiculaire commune, et par conséquent parallèles entre elles. Les points des deux plans situés sur ces deux parallèles observeront partout la même distance. Et comme le troisième plan peut affecter une direction quelconque et tourner comme on voudra autour de la perpendiculaire commune, il s'ensuit que tous les points du premier plan seront à égale distance de ceux du second. Le parallélisme se trouve ainsi établi sans qu'il soit nécessaire de poser un nouvel axiome pour dire qu'un plan qui a commencé par s'éloigner d'un autre ne peut pas ensuite s'en rapprocher.

Finalement le plan, malgré son analogie avec la ligne droite, ne réclame qu'un seul axiome, tandis que la ligne droite en réclame cinq.

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