REMARQUE SUR LES TYPKS ELEMENTAIRES DE LA GÉOMÉTRIE

La ligne droite et le plan sont les types élémentaires de ligne et de surface adoptés en Géométrie. On peut dire que cette Science repose entièrement sur eux. Pourquoi ces deux types et non pas d'autres? Qu'est-ce qui les a fait préférer? N'eût-il pas été possible de faire un autre choix et, avec des types différents, de construire une Géométrie différente?

Il est visible que la ligne droite et le plan n'ont pas été pris au hasard et que leur choix a été recommandé par de sérieuses considérations. Ils devaient, en premier lieu, sous peine d'engendrer une Science stérile, correspondre à des réalités que la Nature ouïes arts présentent fréquemment. Or la ligne droite — pour parler d'elle d'abord — s'offre à nous dans d'importantes occasions. Je rappellerai :

i** Le fil tendu et spécialement le « fil à plomb »;

2^ La trajectoire du rayon lumineux; 3° L'axe de rotation.

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Ce ne sont pas là des faits arbitraires, produits de la fantaisie. Ils résultent de Tordre des choses ou de nos besoins les plus constants. En outre, par sa propriété d'être « la plus courte possible » entre deux points, la ligne droite satisfait à nos concepts spontanés de distance et de longueur. Son adoption parait donc déjà s'imposer. Enfin, elle jouit d'attributs que nous devons rechercher dans l'élaboration d'une Science. Elle est la même partout y j'entends par là que toutes les droites, distribuées comme on voudra dans l'espace, sont identiques; elles ne diffèrent que par la longueur. Or aucune autre ligne ne remplit cette condition : la plus simple des courbes, la circonférence elle-même, n'est identique à une autre circonférence que si elle a même rayon; pour peu que les rayons différent, les circonférences ne sont pas superposables. De plus, elle est illimitée et se prête par conséquent aux combinaisons embrassant les plus vastes étendues. Or tout arc de cercle, d'ellipse et de n'importe quelle courbe fermée est forcément limité. Les courbes qui comme l'hyperbole ou la parabole sont indéfinies, à l'instar de la ligne droite, n'ont pas ses autres qualités : non seulement elles ne sont pas identiques entre elles, mais même les

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portions d'une même courbe ne sont pas identiques les unes aux autres, elles ne peuvent pas se superposer. L'homme ne se trouvait donc pas libre de choisir un autre type que la ligne droite ou du moins il ne le pouvait faire qu'au prix des plus grandes difficultés et en méconnaissant la réalité.

L'adoption de la ligne droite entraînait celle du plan qui lui est adéquat, puisque la propriété fondamentale du plan est de contenir des lignes droites dans tous les sens. Le plan correspond en outre au phénomène de la surface des eaux tranquilles et à la confection de surfaces résistantes sur lesquelles un objet puisse demeurer en équilibre sous l'action de la pesanteur. Cette force qui nous domine de toutes parts devait nous diriger vers la conception d'une surface horizontale, c'est-à-dire d'un plan, dans une étendue limitée.

En résumé les types acceptés réalisent un ensemble de conditions qui les mettent hors de pair. Leur choix était rendu inévitable. La Géométrie se trouvait en face de données naturelles qu'il ne lui était pas plus permis de négliger qu'il n'est permis au physicien de négliger la chaleur et la lumière.

Toutefois, et malgré ces raisons décisives, on

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peut concevoir une Géométrie conventionnelle, artificielle, basée sur des types autres que la ligne droite et le plan, et susceptible d'un développement log^ique. Les seuls types sur lesquels il soit vraiment possible de faire une pareille liypotlîèse, sans se lancer dans des complications inextricables, sont la circonférence et la sphère qui par certains côtés se rapprochent de la ligne droite et du plan, tout en leur restant très inférieures. Les circonférences, pour être comparables, devront avoir même rayon ; ce seront, par exemple, des circonférences de grand cercle ou dont le centre coïncide avec celui de la sphère. Les figures seront donc formées avec des arcs de grand cercle et des portions de surface sphérique. Si la sphère a de grandes dimensions, comme celles du globe terrestre, et si les figures sont peu étendues, les résultats ne différeront pas en apparence de ceux de la Géométrie ordinaire, car les observations faites pour établir les propriétés fondamentales de Tare de grand cercle et de la surface sphérique nous conduiront à formuler les mômes axiomes. L'arc sera à nos yeux le plus court chemin d'un point à un autre, il sera déterminé par deux points, il ne se rapprochera pas d'un autre arc après s'en être éloigné, il pourra

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être tracé dans tous les sens sur une surface sphérique; en un mot, avec une semblable échelle, nos observations physiques ne nous permettront pas de distinguer si nous raisonnons sur des droites et des plans ou sur des lignes et des surfaces courbes. Par conséquent les conclusions seront identiques. Mais il est bien évident qu'une partie de ces conclusions ne seront vraies qu'approximativement et que Terreur apparaîtrait si le rayon de la sphère était moindre ou si les figures avaient plus d'étendue.

Il est facile de reconnaître quelles sont les conclusions qui tomberaient et celles, au contraire, qui persisteraient si la sphère était petite et les figures relativement grandes.

L'arc de grand cercle continuerait d'être le plus court chemin d'un point à un autre, les distances étant, bien entendu, mesurées sur la sphère et non à travers l'espace. Il serait toujours déterminé par deux de ses points; mais il ne pourrait pas servir d'axe de rotation, il ne pourrait pas être prolongé indéfiniment, et, après s'être éloigné d'un autre arc, il s'en rapprocherait ensuite, puisque deux grands cercles se coupent suivant un diamètre commun. Les angles polyédriques n'auraient plus la même signification,

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les plans étant remplacés par des surfaces sphériques, mais on pourrait envisager les angles des arcs comme on envisage les angles des droites. Deux arcs seraient perpendiculaires quand ils formeraient des angles égaux et l'arc mené d'un point perpendiculairement à un arc en mesurerait la distance. La notion du parallélisme s'évanouirait, car deux arcs ne pourraient se maintenir à égale distance l'un de l'autre : deux arcs perpendiculaires à un troisième se rencontreraient nécessairement. La somme des angles d'un triangle oscillerait entre deux et six angles droits, ou entre deux et quatre angles droits, si l'on convient de ne pas considérer les triangles dont la base excède la demi-circonférence. Les cas d'égalité des triangles seraient les mêmes que dans la Géométrie ordinaire : deux triangles seraient égaux quand ils auraient un angle égal compris entre deux arcs égaux, ou un arc égal contigu à deux angles égaux, ou les trois arcs égaux chacun à chacun. Mais il n'y aurait pas de triangles semblables, puisqu'il n'est pas possible de tracer des arcs de grand cercle parallèles.

L'écart entre les deux Géométries tend naturellement à s'effacer — non en théorie mais en pratique — à mesure que le rayon de la sphère

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augmente. Déjà quand il atteint celui du globe terrestre, je remarquais tout à l'heure que dans des figures restreintes l'observation ne révélait pas de différences appréciables. A plus forte raison, quand le rayon augmente encore, ces différences deviennent-elles insensibles, même dans des figures de grandes dimensions. Si l'.on suppose un rayon non pas infini — ce sont des manières de parler : une sphère, par cela seul qu'on en articule le nom, possède un contour ~ mais indéfini, c'est-à-dire supérieur à toute quantité assignée, l'arc et la surface ne se distinguent plus, pratiquement, de la droite et du plan. La notion de parallélisme reparaît, car deux arcs peuvent ne pas se rapprocher, dans la limite de nos observations. C'est même cette complète analogie entre les résultats de la Géométrie ordinaire et ceux d'une sphère à rayon indéfini, qui porte certains géomètres à substituer l'hypothèse d'un espace sphérique ou limité à celle de l'espace infini affirmé par la raison commune. De là des variétés de Géométrie noneuclidienne auxquelles j'ai fait allusion.

On voit combien serait imparfaite une Géométrie construite avec des éléments autres que la

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ligne droite et le plan, même dans le cas le plus simple, celui d'une surface sphérique et d'arcs de grand cercle. Si, à certains égards, on atteint plus de généralité, par contre on n'obtient ainsi que des lambeaux de la Géométrie ordinaire.

Encore même ces lambeaux, si l'on va au fond des choses, supposent-ils certaines notions que la Géométrie ordinaire seule a pu donner. Car comment définirions-nous le cercle si nous n'avions pas déjà le concept du plan ? Comment pourrions-nous affirmer qu'entre deux points de la surface sphérique on ne peut mener qu'un seul arc de grand cercle? etc. Tout bien considéré la Géométrie ordinaire est donc la seule qui puisse être établie directement. Elle est non seulement en harmonie avec les faits naturels les plus importants et avec nos propres concepts, mais elle est la seule susceptible d'un développement scientifique, au moyen des bases fournies par rexpérience directe. Toute autre Géométrie, outre ses complications et son insuffisance, lui ferait des emprunts implicites. On aperçoit ainsi la raison profonde du choix fait par les géomètres dés la plus haute antiquité, et l'impossibilité, nonobstant toutes les ressources de l'Analyse moderne, de se passer de cette (léométrie

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primitive et des enseignements qu'elle nous a procurés.

J'ai à peine besoin de faire observer que la Géométrie conventionnelle dont je viens de m'occuper hypothétiquement n'a rien de commun avec la « Géométrie sphérique » exposée dans les Traités classiques. Celle-ci respecte tous les concepts et les théorèmes de la Géométrie ordinaire et en fait usage pour ce cas particulier.