DU PROBLÈME GÉOMÉTRIQUE
Le problème essentiel de la Géométrie consiste à évaluer certains éléments des figures à l'aide de divers autres et, par suite, à étudier les relations qui existent entre eux.
La connaissance de ces relations est Je préliminaire indispensable de tout problème de mesure. Elle occupe dans la Géométrie une place considérable et d'autant plus grande qu'elle présente par elle-même un vif intérêt, abstraction faite des questions de mesure dont elle donne la clef. Aussi est-il arrivé que les géomètres obéissant à une noble curiosité ont multiplié les recherches sur les relations, sans se préoccuper
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toujours des facilités qui pourraient en sortir pour les évaluations mêmes. Lors donc qu'on regarde dans son ensemble l'œuvre géométrique il faut s'attendre à la trouver fractionnée suivant l'ordre de complexité croissante des figures, sans égard le plus souvent pour l'urgence des solutions pratiques qui s'y rattachent. En un mot la Géométrie forme un tout doctrinal, dont les problèmes de mesure utilisent les déductions.
On distingue immédiatement les grandes divisions que la logique introduit dans cet ensemble. KUes ne sont pas de tout point conformes au développement historique, parce que les découvertes successives ont entremêlé différentes sortes de questions ; on a vu des sujets plus difficiles abordés, grâce à de nouvelles méthodes, tandis que les sujets traités par les méthodes anciennes n'étaient pas encore entièrement épuisés. Mais aujourd'hui, au point d'avancement où est la Science, c'est l'ordre logique beaucoup plutôt (jue l'ordre historique qu'il faut consulter.
Tout d'abord la Géométrie — ou plus exactement les matières qui sont étudiées sous ce nom — forme deux grandes branches; je les désignerai par les qualificatifs de concrète et d^ abstraite. Les brèves indications que j'ai données à l'occa-
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sion des parallèles mettent sur la voie de ce qu'il faut entendre par « Géométrie abstraite » : c'est celle qui s'affranchit ou se prive d'un ou plusieurs des axiomes dus k Tobservation. On peut construire ainsi, comme je l'ai déjà remarqué, des enchaînements fort rationnels mais dont les conclusions souvent ne sont pas en relation avec le monde extérieur. Mais ce n'est pas cette nature de spéculations que j'examine. Je me tiens à la « Géométrie concrète », qui réclame comme bases les vérités sugjçérées par Tcxpérience et spécialement celles que j'ai énumérées dans le Chapitre précédent.
Elle peut se subdiviser à son tour en Géométrie spéciale et en Géométrie générale. La première procède par l'étude directe d'un certain nombre de types de figures et cherche à épuiser successivement les propriétés de chacun d'eux. Son action est limitée soit par la difficulté du sujet, soit surtout par l'impossibilité d'aborder séparément chacun des types que notre imagination est apte à concevoir; on se borne nécessairement aux plus importants et aux plus usuels. Les anciens ont presque exclusivement exploité ce champ. A l'exception de quelques entreprises partielles (notamment le procédé à^exhaustion
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d'Architnède), ils n'ont pas eu recours aux méthodes beaucoup plus fécondes qui, entre lés mains de Descartes et de Leibnitz, devaient ouvrir de si vastes horizons aux savants modernes. Ce partage historique fait souvent désigner sous les noms à^ ancienne et de moderne les deux branches de la Géométrie concrète.
